III. Практическая часть.
Задача 1.
Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА\ и ВВ\ на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА1=а, ВВ1=b, А1В1=с и двугранный угол равен а (рис. 26).
Р
ешение.
Проведем прямые A1C||BB1
и ВС||А1В1.
Четырехугольник А1В1ВС
- параллелограмм, значит АА1==ВВ1=b.
Прямая А1В1
перпендикулярна плоскости треугольника
АA1C,
так как она перпендикулярна двум прямым
в этой плоскости АА1
и СА1.
Следовательно, параллельная ей прямая
ВС тоже перпендикулярна этой плоскости.
Значит, треугольник АВС — прямоугольный
с прямым углом С. По теореме косинусов
AC2=AA12+A1C2—2AA1•A1C•cos =a2+b2—2abcos .
По теореме Пифагора
АВ =AC2 + ВС2 = a2 + b2— 2ab cos + с2.
Задача 2.
У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен , а плоский угол (bс) равен (, </2). Найдите два других плоских угла: = (ab), = (ac).
Р
ешение.
Опустим из произвольной точки А ребра
а перпендикуляр АВ на ребро b и перпендикуляр
АС на ребро с (рис. 27). По теореме о трех
перпендикулярах СВ — перпендикуляр к
ребру b.
Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем:
tg =AB/OB=(BC/ cos )/(BC/tg )= tg / cos
tg =AC/OC=BC tg / (BC/sin )= tg sin
Задача 3.
В
наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам и
пересекающее все боковые ребра. Найдите
боковую поверхность призмы, если п
ериметр
сечения равен р, а боковые ребра равны
l.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 28). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.
Задача 4.
Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия ¼, 2/4, и ¾. Площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей сечений к площади основания пирамиды есть (¼)2, (2/4)2, и (¾)2. Следовательно, площади сечений равны
400 (¼ )2 =25 (см2),
400 (2/4)2 =100 (см2),
400 (¾)2 =225 (см2).
Задача 5.
Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Решение. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции с одним и тем же верхним основанием а, нижним b и высотой (апофемой) l. Поэтому площадь одной грани равна ½ (а + b)l. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна ½ (аn + bn)l, где n — число вершин у основания пирамиды, an и bn — периметры оснований пирамиды.