Примеры решения типовых задач
Пример
1. Исследовать
функцию
на экстремум и монотонность.
Решение.
Область определения – множество всех
действительных чисел
.
1)Находим производную функции:
2)Найдем
стационарные и критические точки. Решим
уравнение
:
-
стационарная.
не существует при
или
.
Эти точки входят в область определения
функции, следовательно, являются
критическими.
3
)
Разобьем область определения
точками 0, 2, 4 на интервалы
,
,
,
,
в каждом из которых производная сохраняет
знак. Найдем знаки производной в этих
интервалах (см. рис.4)
4)
Функция убывает в интервалах
и
,
возрастает в интервалах
и
.
Однако можно сделать более сильный
вывод. В самом деле, в окрестностях
критических точек
и
производная не меняет знака, значит,
они не являются точками экстремума.
Функция убывает в интервале
и возрастает в интервале
.
5)
Стационарная точка
является точкой минимума. Тогда
.
7.Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке
Пусть
функция
определена на отрезке
.
Если
непрерывна на этом отрезке, то существуют
точки
и
,
в которых функция достигает своего
максимального и минимального значений
(на отрезке!). Этими точками могут быть
либо внутренние критические точки (из
),
либо граничные. Поэтому для отыскания
наибольшего и наименьшего значения
функции
на числовом отрезке придерживаются
следующего алгоритма.
1) Найти первую производную .
2) Найти стационарные и критические точки функции и выбрать те из них, которые попадают в отрезок .
3)
Сравнить значения функции в найденных
точках и на границах (т.е. в точках
,
),
выбрать наибольшее и наименьшее значения.
Характер экстремума определять не
нужно.
Пусть
функции
определена в интервале
.
В этом случае не гарантируется
существование наибольшего и наименьшего
значений у функций. После определения
стационарных и критических точек и
значений функции в них, необходимо
изучить поведение функции при
и
.
Сравнивая полученные значения, получают
наибольшее или наименьшее значения
функции или обосновывается факт
отсутствия таких значений.
В
случае бесконечных промежутков
,
,
и др. схема исследований аналогична.
Наибольшее и наименьшее значения функции
на числовом промежутке называют
глобальными
экстремумами функции.
Примеры решения типовых задач
Пример
1.
Найти наибольшее и наименьшее значения
на отрезке
.
Решение.
,
причем производная определена всюду,
критических точек нет. Чтобы найти
стационарные точки, приравниваем
производную к нулю:
.
Итак,
и
– стационарные точки. При этом
,
а
,
поэтому последняя точка нас не интересует.
Вычисляем значения исходной функции в
выбранной точке и на концах отрезка:
;
;
.
Сравнивая
значения, получаем:
,
.
Пример
2.
Найти наибольшее и наименьшее значения
в интервале
.
Решение.
,
причем производная не существует при
и
.
Эти точки являются критическими. Чтобы
найти стационарные точки, приравниваем
производную к нулю:
,
т.е.
.
Итак,
-
стационарная точка. При этом
и
,
а
,
поэтому последняя точка нас не интересует.
Вычисляем значения исходной функции в
выбранных точках:
,
.
Находим предельные значения функции на границах интервала:
;
.
Эти
значения в точках
и
функция не достигает, поскольку эти
точки не принадлежат интервалу
.
Сравнивая
,
,
и
,
получаем
не существует,
.
При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.
Пусть
функция
определена на открытом числовом интервале
и имеет на нем единственную стационарную
точку
.
Если
– точка локального максимума, то
;
если
- точка локального минимума, то
Пример
3.
Определить наибольшую площадь
равнобедренного треугольника, вписанного
в круг радиуса
.
Решение.
Пусть
и
,
тогда
,
– острый угол. Из теоремы синусов имеем
,
а
.
.
– стационарная
точка функции
.
– точка
локального максимума, так как функция
непрерывна на
и имеет единственную точку локального
максимума, то в этой точке обязательно
достигается наибольшее значение функции
на этом интервале. Найдем
(кв.ед.)