10.Построение эскиза графика функции одной переменной

Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1) Найти область определения функции .

2) Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси для четной).

3) Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью решаем уравнение ; для нахождения точки пересечения графика с осью подставляем в аналитическое выражение функции значение ).

4) Найти и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения функции.

5) Найти , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба графика функции.

6) Найти асимптоты графика.

7) Используя все полученные результаты, построить график функции.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Провести полное исследование функции

Решение.

1) .

2) , т.е. и . Функция является функцией общего вида, непериодической.

3) Так как , то график пересекает оси координат только в точке .

4) .

или . не существует в точке , но она не входит в область определения функции. Следовательно, имеются две стационарные точки и . Разобьем этими точками область определения на интервалы знакопостоянства производной: , , , . Определим знаки производной в этих интервалах (см. рис. 8).

Используя достаточные условия монотонности и экстремума, можно сделать следующие выводы: функция возрастает в интервалах и , убывает в и . Значение максимума , значение минимума .

5) .

не обращается в 0, а в точке 1, где не существует, функция не определена, поэтому график функции не имеет точки перегиба. Таким образом, имеются два интервала и , знакопостоянства второй производной (см. рис.9 ).

В силу достаточных условий выпуклости и вогнутости графика в интервале график выпуклый (вверх), а в интервале график вогнутый (выпуклый вниз).

6)Так как , , то прямая – вертикальная асимптота графика функции.

.

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота графика функции при .

7) Построим график функции. Сначала изобразим асимптоты и (пунктирной линией). Наносим на чертеж точки (0, 0) и (2, 2), найденные в пункте 4. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в пунктах 4, 5, 6. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования и убеждаемся в правильности построения графика.