Допоміжна

1. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие. – М.: Наука, 1978. – 623 с.

2. Барвин И. И. Высшая математика: Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Наука, 1987. – 349 с.

Інформаційні ресурси

1. Електронний курс «Вища математика», розміщений в університетській мережі www.e-learning.chnu.edu.ua

2. Офіційний сайт факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича http://fpm.org.ua/

3. Сайт наукової бібліотеки Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича http://www.library.chnu.edu.ua/

4. Віртуальна математична бібліотека http://euclid.math.fsu.edu/Science/math.html

5. Фізико-математична бібліотека http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm

6. DjVu Library Математична бібліотека http://djvu-lib.narod.ru/index-all.html

Зміст завдань для самостійної роботи з курсу «Вища математика»

1-ий семестр

Змістовий модуль 1.

1. Знайти матрицю , якщо

1. , , .

2. , , .

3. , , .

2. Знайти матрицю , якщо , .

3. Обчислити .

4. Знайти добуток матриць АВ і ВА, якщо:

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , ;

5) , ; 6) , ;

7) , ; 8) , .

5. Обчислити:

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5) ; 6) ; 7) .

8) , якщо ; 9) , якщо .

6. Обчислити визначники:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 13) ; 14) ;

7. Знайти обернену матрицю до матриць:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

8. Знайти матрицю Х з рівняння:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

9. Обчислити ранг матриці:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

10. Розв’язати системи рівнянь за правилом Крамера або подавши її у вигляді матричного рівняння.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

11. Матричним методом розв’язати системи рівнянь:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

12. Розв’язати системи лінійних рівнянь методами Гаусса та Жордана-Гаусса

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14)

13. Дослідити на сумісність і знайти розв’язок систем:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Змістовий модуль 2.

1. У трикутнику АВС вектор і вектор . Побудувати вектори:

4. , 2) , 3) , 4) .

2. Задано вектори і . Визначити координати векторів :

1. , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

3. При яких значеннях α і β вектори і колінеарні?

4. Довести, що точки А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) є вершинами трапеції.

5. Дано вектори і . Розкласти вектор по базису і .

6. Дано чотири вектори , , і . Розкласти кожний з цих векторів, приймаючи за базис три інші вектори.

7. Дано точки і . На прямій знайти точку M, яка ділить відрізок у відношенні λ=3.

8. Дано вершини трикутника: А(1; 1; 1), В(5; 1; -2), С(7; 9; 1). Знайти координати точки D перетину бісектриси кута А зі стороною СВ.

9. На осі Ox знайти точку, рівновіддалену від точок А(2; -4; 5) і В(-3; 2; 7).

10. В якому відношенні точка М, рівновіддалена від точок А(3; 1; 4) і В(-4; 5; 3), поділить відрізок осі Oy від початку координат до точки С(0; 6; 0).

11. Дано вершини чотирикутника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Довести, що його діагоналі АС і BD взаємно перпендикулярні.

12. Обчислити внутрішні кути трикутника АВС, якщо

1) А(1; 2; 1), В(3; -1; 7), С(7; 4; -2); 2) А(2; -1; 3), В(1; 1; 1), С(0; 0; 5).

13. Дано точки А(-2; 3; -4), В(3; 2; 5), С(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Обчислити проекцію вектора на вектор .

14. Обчислити площу трикутника з вершинами:

1) А(7; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; -2); 2) А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6).

15. Дано вершини трикутника: А(1; -2; 8), В(0; 0; 4), С(6; 2; 0). Обчислити його площу і висоту ВD.

16. Обчислити об’єм піраміди з вершинами у точках A, B, C, D та довжину висоти, опущеної на грань АВС, якщо:

1) А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) , D(0; 0; 0); 2) А(2; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 6) , D(2; 3; 8).

17. Довести, що точки A, B, C, D лежать в одній площині, якщо:

1) А(2; -1; -2), В(1; 2; 1), С(2; 3; 0) , D(5; 0; -6); 2) А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1) , D(2; 1; 3).

18. Об’єм тетраедра V=5, три його вершини знаходяться у точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oy.

1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(-2; 5) і паралельна прямій 3x+4y+2=0.

2. Задано вершини трикутника А(2; 2), В(-2;-8) і С(-6;-2). Скласти рівняння його медіан.

3. Задано вершини трикутника А(0; 1), В(6; 5) і С(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.

4. Задано вершини трикутника А(0; 0), В(–1; –3) і С(–5; –1). Скласти рівняння прямих, що проходять через вершини трикутника і паралельні до його сторін.

5. Визначити відстань від точки М(2; –1) до прямої, що відтинає на осях координат відрізки а=8, b=6.

6. Задано середини сторін трикутника А₁(–1; –1), В₁(1; 9) і С₁(9; 1). Скласти рівняння серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

7. Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 5) і С(13; –4). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини В, і висоти, опущеної з вершини С. Обчислити площу трикутника.

8. Задано сторони трикутника x–y=0 (АВ), x+y–2=0 (ВС), y=0 (АС). Скласти рівняння медіани, яка проходить через вершину В, і висоти, що проходить через вершину А.

9. Скласти рівняння трьох сторін квадрата, якщо відомо, що четвертою стороною є відрізок прямої 4x+3y–12=0, кінці якого лежать на осях координат.

10. Знайти кутовий коефіцієнт, загальне рівняння прямої і відрізки, що відтинаються нею на осях, якщо пряма проходить через точки: 1) А(2; –8) і В(–1; 7), 2) А(–1; 1) і В(–1; 5).

11. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 3) і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.

12. Дано пряму 2x+3y+5=0. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 1): 1) перпендикулярно до даної прямої; 2) паралельно до даної прямої.

13. Скласти рівняння прямих, проведених через вершини трикутника паралельно до протилежних сторін, якщо відомі рівняння сторін трикутника 5x–2y+6=0, 4x–y+3=0, x+3y–7=0.

14. Скласти рівняння висот трикутника, якщо задано рівняння його сторін:

1) 2x–y+3=0, x+5y–7=0, 3x–2y+6=0; 2) x+2y–1=0, 5x+4y–17=0, x–4y+11=0.

15. Задано середини сторін трикутника А₁(2; 1), В₁(5; 3) і С₁(3; –4). Скласти рівняння його сторін.

16. Задано сторони трикутника x+3y–7=0 (АВ), 4x–2y–2=0 (ВС), 6x+8y–35=0 (АС). Знайти довжину висоти, проведеної з вершини В.

17. Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 2) і С(3;-1). Скласти рівняння бісектриси кута A.

18. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо дано одну з його вершин В(–4; –5) і рівняння двох висот 5x+3y–4=0 і 3x+8y+13=0.

19. Відомі протилежні вершини квадрата А(–1; 3), С(6; 2). Скласти рівняння сторін квадрата.

20. Знайти координати вершин ромба, якщо відомі рівняння двох сторін x+2y–4=0, і x+2y–10=0, та рівняння діагоналі x–y+2=0.

21. Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(1; 2), В(0; –1) і С(–3; 0).

22. Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(7; 7), В(–2; 4), якщо його центр лежить на прямій 2x–y–2=0.

23. Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки і .

24. Еліпс, віднесений до осей, проходить через точку M(1; 1) і має ексцентриситет ε=3/5. Скласти рівняння еліпса.

25. Ексцентриситет гіперболи дорівнює . Скласти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку .

26. Скласти рівняння гіперболи, яка проходить через точку M(9; 8), якщо рівняння асимптот гіперболи мають вигляд .

27. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої розташовані у відповідних фокусах і вершинах еліпса .

28. Через точку M(0; –1) і праву вершину гіперболи проведена пряма. Знайти другу точку перетину прямої з гіперболою.

29. Задано гіперболу . Знайти софокусний еліпс, який проходить через точку M(4; 6).

30. Задано еліпс . Записати рівняння софокусної рівнобічної гіперболи.

31. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що її фокус знаходиться у точці перетину прямої 4x–3y–4=0 з віссю Ox.

32. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, симетричною відносно осі Ox, і яка відтинає від прямої y=x хорду довжиною .

33. Парабола відтинає від прямої, яка проходить через початок координат, хорду, довжиною 3/4. Скласти рівняння цієї прямої.