Приклади розв'язування задач

Приклад 1.

Задано точки , , . Знайти:

а) модуль вектора та його орт ;

б) скалярний добуток векторів і та кут між ними ;

в) проекцію вектора на вектор ;

г) координати т. , що ділить відрізок у відношенні .

Розв’язування

а) Знайдемо координати векторів :

;

;

;

.

Знайдемо координати вектора :

.

Обчислимо модуль (довжину) вектора за формулою:

.

Напрямні косинуси вектора обчислюють за формулами:

; ; .

Напрямні косинуси вектора є координатами орта цього вектора, тобто .

Отже: , тобто

б) Знайдемо координати вектора :

.

Скалярний добуток векторів і обчислюють за формулою . Маємо:

.

Для знаходження кута між і використовуємо формулу

Таким чином:

;

.

в) Координати векторів і дорівнюють:

.

Оскільки пр. , то проекцію вектора на вектор знаходимо за формулою :

пр

г) Координати т. , що ділить відрізок у відношенні , знаходять за формулою:

Маємо

Отже, т.

Приклад 2.

Вектори і утворюють кут і відомо, що і Знайти: а)

б) .

Розв’язування:

а) Використавши властивості скалярного добутку, одержимо:

.

б) Розглянемо . Обчислимо :

.

Отже , тому .

Відповідь: а) ; б) .

Приклад 3. Перевірити колінеарність векторів і , що побудовані на векторах і .

Розв’язування.

Знаходимо координати векторів і у :

,

.

Так як координати векторів і не пропорційні, то умови колінеарності не виконуються.

Приклад 4.

Перевірити, що вектори утворюють базис в , та розкласти вектор за цим базисом.

Розв’язування.

Згідно з означенням, вектори утворюють базис в , якщо вони лінійно незалежні в цьому просторі. Вектори будуть лінійно незалежними в , якщо ранг матриці, складений з координат цих векторів, дорівнює трьом.

Таким чином записуємо матрицю, елементами якої є координати векторів, і обчислюємо її визначник:

; ∆

Отже, вектори – лінійно незалежні і утворюють базис в . Оскільки вектор належить простору , він може бути розкладений за векторами . Тобто, його можна представити таким чином:

, або

.

Запишемо цю рівність у вигляді системи лінійних рівнянь:

Розв’язавши систему будь-яким методом, знайдемо значення невідомих , які в свою чергу будуть координатами вектора у базисі ( ).

В результаті отримаємо та розклад

Приклад 5.

Обчислити координати вектора , якщо він утворює з координатними осями рівні кути і його модуль .

Розв’язування.

Напрям вектора у визначають напрямні косинуси ; ;

За умови і рівності .

Знаходимо кути, які утворює вектор з осями

Таким чином

або , якщо .

2.2. Пряма на площині

Рівнянням лінії на площині називають рівняння із змінними та , якому задовольняють координати будь-якої точки цієї лінії і не задовольняють координати точки, що не належить цій лінії.

Будь-яке рівняння першого ступеня відносно та визначає лінію на площині.

Щоб скласти рівняння прямої лінії необхідно задати умови її розташування відносно координатних осей. В залежності від заданих умов існують різні види рівнянь.