Приклади розв'язування задач

Приклад 1.

Встановити тип кривих та їх характеристики за даними рівняннями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Розв’язування

Перевіримо кожне з рівнянь, виділивши повні квадрати. За одержаним рівнянням визначимо тип кривої та її характеристики:

1)

- канонічне рівняння кола з центром в т. і радіусом .

2)

- канонічне рівняння гіперболи з центром в т. , її півосі: - вершини; - відстань між фокусами, відповідно координати фокусів - ексцентриситет і асимптоти , тобто мають вигляд .

3)

- канонічне рівняння параболи вигляду де - вершина параболи, - параметр параболи, тоді - директриса, т. - фокус, ексцентриситет , фокальний радіус т. , що належить параболі визначається рівністю тобто .

4)

- канонічне рівняння еліпса з піввосями , , з центром в т. , вершинами . Для еліпса, в якому , відстань між фокусами визначається за формулою: = , координати фокусів , . Ексцентриситет . Директриса еліпса .

Відмітимо, що ексцентриситет характеризує форму кривої. Так для еліпса чим ближче ексцентриситет до одиниці, тим більше він витягнутий. У випадку гіперболи , чим він менше, тим більше витягнутий її основний прямокутник.

Приклад 2.

Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює і вона проходить через т. .

Розв’язування

За означенням ексцентриситета маємо: . Так як то тобто гіпербола рівнобічна, її рівняння має вигляд .

Оскільки гіпербола проходить через т. , то координати т. задовольняють рівняння . Звідки одержимо . Таким чином рівняння гіперболи .

2.4. Економічні задачі, пов'язані з використанням векторної алгебри та аналітичної геометрії

Приклад 1.

Підприємство випускає щоденно п’ять видів виробів , основні виробничо-економічні показники яких наведено в таблиці:

Вид виробу	Кількість виробів	Витрати сировини, кг/шт.	Час виготовлення, год./шт.	Ціна виробу, грош. од./шт.
1	25	5	10	25
2	50	2	5	15
3	30	7	15	50
4	35	6	6	40
5	40	5	5	35

Потрібно визначити такі щоденні показники: витрати сировини , витрати робочого часу і вартість виробленої підприємством продукції.

Розв’язування:

За даними таблиці запишемо чотири вектори, що характеризують весь виробничий цикл:

- вектор асортименту;

- вектор витрат сировини;

- вектор витрат робочого часу;

- вектор цін.

Шукані величини являють собою відповідні скалярні добутки вектора асортименту на три інших вектори:

кг;

год.;

грош. од.

Застосування лінійної функціональної залежності.

Рівняння прямої та її графік можуть бути використанні для запису економічних залежностей у випадку, коли між змінними має місце відношення пропорціональності.

Наприклад:

а) позначимо через загальні витрати підприємства на виготовлення одиниць однорідно продукції. Якщо сталі витрати (витрати, що не залежать від обсягу продукції) становлять грош. од., а зміни витрати пропорційні з коефіцієнтом обсягу продукції , то ;

б) якщо - вартість перевезення вантажу на одиницю відстані, - витрати при перевезенні вантажу, що не залежить від відстані, то загальну вартість перевезення вантажу на відстань можна обчислити за формулою ;

в) загальний (валовий) дохід дорівнює ціні за одиницю товару, помножений на кількість проданого товару: .

Приклад 2.

Скласти рівняння прямої, що відображує загальні витрати на перевезення вантажу на відстань деяким транспортом, якщо сталі витрати (напр., навантаження та вивантаження ) складають 2000 грош. од., а змінні витрати (напр., на оплату праці водіїв, пальне і т.п.) пропорційні відстані з коефіцієнтом пропорційності грош. од./км. Відомо, що для другого виду транспорту загальні витрати можна описати рівнянням . Визначити, при яких відстанях економічніше користуватися другим видом транспорту.

Розв’язування:

Змінні витрати на перевезення вантажу першим видом транспорту дорівнюють (загальні витрати мінус сталі витрати). Оскільки змінні витрати пропорційні відстані з коефіцієнтом пропорційності грош. од./км, можна записати: , звідки . Побудуємо прямі, що описують загальні витрати для першого і другого видів транспорту.

ІІ І 3000 2000 500 0 100

Точку перетину прямих І і ІІ можна визначити, розв’язавши систему

Маємо:

З графіка видно, що для відстані км для перевезення вантажу вигідніше користуватися другий видом транспорту (витрат менше), коли ж км, економічнішим буде перший вид транспорту.