Властивості збіжних послідовностей

Властивість 1. Якщо послідовність має скінчену границю, то вона обмежена. (Це наслідок властивості 1 попереднього §).

Властивість 2. А) якщо й , то ;

Б) якщо й , то

( )

Властивість 3. Збіжна числова послідовність не може мати більше ніж одну границю.

Властивості, що пов'язані з арифметичними операціями над послідовностями.

Властивість 4. Якщо .

Властивість 5. Якщо то .

Властивість 6. Якщо то .

Властивість 7. Якщо , , то .

Зауваження. Властивості 5, 6 справедливі для будь-якого скінченого числа доданків і множників.

Властивості, що пов'язані з нерівностями для послідовностей.

Властивість 8. Якщо й , тоді : .

Властивість 9. (теорема про граничний перехід у нерівностях).

Якщо й , то .

Зауваження. Хоча (строго) але (не строго).

Приклад. .

Означення. Кажуть, що послідовність відокремлена від нуля, якщо таке, що .

Властивість 10. Якщо то , .

(тут, якщо , то , а у випадку ).

Властивість 11. Якщо то .

(це є наслідком властивості 10).

Властивість 12. (теорема про збіжність проміжної послідовності, або про двох міліціонерів).

і то - збігається і .

Завдання для самостійного розв'язання. Довести, що відкидання, або приєднання скінченої кількості елементів до послідовності не впливає на її збіжність.

Монотонні послідовності

Означення. Послідовність називається монотонно зростаючою, якщо

строго зростаюча

строго спадна .

Якщо , то кажуть, що послідовність неспадна,

а якщо , то кажуть, що послідовність незростаюча.

Приклад. 1)

2)

Теорема (Вейерштрасса). Якщо послідовність монотонна й обмежена, то вона збіжна.

Зауваження. Теорема справедлива, якщо послідовність монотонна, хоча б починаючи з деякого номера .

Для отримання наступного результата доведемо лему.

Лема (нерівність Бернуллі). При , та при будь якому натуральному справедлива нерівність .

Зауваження. Знак рівності виникає тільки при або .

Приклад. Число .

□ Розглянемо послідовність та покажемо що вона монотонна та обмежена. Перевіримо монотонність

.

Та обмеженість

.

Послідовність неспадна та обмежена, а тому за теоремою Вейерштрасса вона збіжна. Позначають границю послідовності , а її чисельне значення ■

Підпослідовність

Нехай є послідовність . Відзначимо яким-небудь чином у ній нескінченно багато членів і перенумеруємо їх заново зліва направо. Отримаємо набір , що назвемо підпослідовністю.

Означення. Якщо з даної послідовності вибрати нескінченну кількість членів із збереженням порядку (упорядкування), то отримаємо підпослідовність.

Наведемо ще одну властивість збіжних послідовностей.

Теорема (про границю підпослідовності). Якщо послідовність має границю (скінчену або ні), то таку саму границю має й будь яка її підпослідовність.

Завдання для самостійного розв'язання. У послідовності підпослідовності , та збігаються. Довести, що збіжна й сама послідовність.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). З будь-якої обмеженої послідовності можна витягти збіжну підпослідовність.

Теорема. З необмеженої послідовності можна витягти н.в. підпослідовність.

Означення. Границя будь-якої збіжної послідовності називається частковою границею даної послідовності.

Наслідок. Теорема Больцано-Вейерштрасса стверджує, що всяка обмежена послідовність має хоча б одну часткову границю.

Завдання для самостійного розв'язання.

1. Довести, що верхня й нижня границя також є граничними точками послідовності .

2. Довести, що множина граничних точок послідовності має найбільший і найменший елемент. При цьому їх позначають: , .

Перевірка послідовності на збіжність не завжди доцільна за означенням. Це пов'язано з тим, що в означенні збіжної послідовності бере участь значення границі, яке може бути й невідомим. Тому бажано мати який не будь критерій для визначення збіжності або розбіжності послідовності, заснований тільки на властивостях елементів даної послідовності. Сформулюємо такий критерій.

Означення. Послідовність називається фундаментальною, якщо .

Лема (Властивості фундаментальної послідовності).

1) Фундаментальна послідовність обмежена.

2) Якщо будь-яка підпослідовність фундаментальної послідовності має границю , то й сама послідовність має границю .

Теорема (Критерій Коши). Для того щоб послідовність збігалася необхідно й достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Завдання для самостійного розв'язання.

1. Послідовність обмежена, , . Довести, що послідовності та збігаються.

2. Нехай . Довести, що .

3. Нехай . Довести, що .

4. Навести приклад розбіжної послідовності , для якої існує .