Властивості функцій, що мають границю

Властивість 1. Якщо функція має границю , то окіл точки , у якій функція обмежена. (Цю властивість можна назвати необхідною умовою обмеженості функції, що має границю.)

Властивість 2. Якщо , то .

Зауваження. Справедлива аналогічна властивість і у випадку, якщо .

Властивість 3 (Відокремленість від нуля). Якщо , то такі, що .

Властивість 4 (Про єдину границю). Якщо функція має границю в точці , то ця границя єдина.

Властивості, що пов'язані з арифметичними операціями над границями. Нехай і , тоді

Властивість 5 (Границя суми двох функції дорівнює сумі границь). .

Властивість 6 (Границя добутку двох функції дорівнює добутку границь). .

Властивість 7 (Границя частки двох функції дорівнює відношенню границь). (за умови ).

Властивість 8 (Границя добутку числа на функцію дорівнює добутку числа на границю функції). .

Властивості, що пов'язані із граничними переходами в нерівностях.

Властивість 9 (теорема про граничний перехід у нерівності).

Якщо в деякому околі точки ( ) виконане і й , то .

Зауваження. При граничному переході може виникнути знак рівності.

Властивість 10. (теорема про границю проміжної функції, або про двох міліціонерів). Якщо в деякому околі точки виконане й , то .

Властивість 11 (теорема про перехід до границі під знаком неперервної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція має границю в точці , і границя функції дорівнює , то тоді складна функція має границю в точці й ця границя дорівнює , тобто границя функції дорівнює значенню функції від границі функції : .

Аналогія між збіжними послідовностями й функціями, що мають границю, поширюється й на критерій Коши.

Означення. Кажуть, що функція в точці має «Ф - властивість» (за аналогією з фундаментальною послідовністю), якщо така, що .

Критерій Коши. Для того, щоб функція в точці мала скінчену границю, необхідно й достатньо щоб вона мала «Ф - властивість».

Обчислення границь. Невизначеності

Означення. Число називається границею функції при , якщо .

Аналогічно однобічну границю можна визначити як при так й .

Зауваження. Зауважимо, що властивості функцій, що мають границю, залишаються справедливими й у випадку , якщо під околом будемо розуміти .

При обчисленні границь користуються властивостями, пов'язаними з арифметичними операціями над границями.

Приклади:

1. ;

2. ;

3. ;

4. (н.м. помножена на обмежену).

Оскільки ми додали до елементи , то можна записати арифметичні операції з цими елементами.

Так роблять завжди, коли є визначеність.

Визначеності

; ;

; ;

; ;

; ( ) ; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Є особливі випадки, коли границю суми, добутку або частки не можна знайти, знаючи тільки границі доданків, множників або діленого й дільника. Такі випадки називаються невизначеностями.

Невизначеності

Приклад. Границя раціонального дробу

.

Чудові границі

Теорема. (І чудова границя)

Зауваження. Якщо в деякому околі точки - н.м., то .

Теорема. (ІІ чудова границя)

Наслідок. Заміною отримаємо .

ІІІ .

IV.

V.

Зауваження. Зауваження до І границі справедливо й для інших.

Порівняння н.м. О-символіка

Означення. Якщо для двох функцій та існує така константа , що в деякому околі точці виконується нерівність , (тобто при ) то кажуть, що функція обмежена порівняно з функцією в деякому околі точки (або підпорядкована при ). Позначення .

Означення. Якщо функції і такі, що та при , то вони звуться функціями одного порядку при .

Означення. Кажуть, що і еквівалентні, якщо (за умови, що , в деякому околі точки ). Позначення при .

Означення. Якщо , де , то кажуть, що є н.м. відносно функції . Позначення .

Означення. Кажуть, що н.м. є величиною більш високого порядку малості ніж н.м. , якщо при й . Позначення: = .

Означення. Кажуть, що й н.м. одного порядку малості, якщо скінчена границя їхнього відношення й вона не дорівнює 0: .

Теорема. Нехай ~ , ~ , при . Тоді .

Теорема (про еквівалентні функції). Функції й еквівалентні при , якщо можна представити у вигляді: . При цьому називають головною частиною функції .

Таблиця еквівалентних функцій

1. ~ 2. . ~ 3. . ~

4. . ~ 5. . ~ 6. . ~

7. . ~ 8. . ~ 9. . ~

10. . ~ .

Правила дії із символом «О-велике» при

1. ,

2.

3.

4.

5. якщо ~ .

Правила дії із символом «о-мале» при

1. ,

2.

3.

4.

5. якщо ~ .

6. .

7. та

Зауваження. Рівності 2-4 читаються зліва направо.

Таблиці асимптотичної поведінки функцій