3. Случайные величины и их характеристики

Случайная величина – это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Различают два вида случайных величин:

• дискретная – случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений x₁, ... , x_n, каждое с некоторой вероятностью p₁, ... , p_n. Дискретная случайная величина обычно задается законом (рядом) распределения, устанавливающим однозначное соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

• непрерывная – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Непрерывная случайная величина характеризуется плотностью вероятности – неотрицательной функцией f(x), такой, что вероятность попадания случайной величины X в интервал (a; b) равна .

Функция распределения вероятности случайной величины Х – это функция

F(x) = P(X<x).

К основным числовым характеристикам случайных величин относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание М(Х) – это средневзвешенное значение случайной величины, которое вычисляется по формулам:

для дискретной случайной величины ; (8)

для непрерывной случайной величины . (9)

Дисперсия – это мера рассеивания случайной величины относительно ее среднего значения.

Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания D_x = M[(X – m_x)²] и вычисляется по формулам:

для дискретной случайной величины ; (10)

для непрерывной случайной величины . (11)

Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии:

.

4. Законы распределения случайных величин

Биномиальный закон распределения

Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того, что событие А появится в этих испытаниях ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли

, (12)

где q = 1 – p .

Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать п+1 значение (0, 1, …, п), описываемый формулой (12), называется биномиальным. Для биномиального закона m_x = np; D_x = npq.

Закон распределения Пуассона

Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0, 1, …, п, …), описываемый формулой

, (13)

называется законом Пуассона. Для этого закона m_x = ; D_x = .

Нормальный закон распределения

Закон распределения непрерывной случайной величины Х, плотность вероятности которого имеет вид

(14)

называется нормальным законом распределения. Здесь m_x = a; D_x =  ².

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение из интервала (; ) вычисляется по формуле

, (15)

где Ф(х) – функция Лапласа, причем . (16)

Значения этой функции находят по таблице (см. Приложение 1).

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания будет меньше положительного числа , вычисляется по формуле

. (17)