5. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и р0, р1, то при достаточно больших п вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз приближенно равна

, (18)

где , .

Функция (х) четная, т. е. (х) = (х), при х   (х)  0 , поэтому можно считать, что при х > 5  (х) = 0.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и р0, р1, то при достаточно больших п вероятность того, что событие А наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз приближенно равна

, (19)

где – функция Лапласа; , .

Функция (х) нечетная, т. е. (х) = (х); (0) = 0; также можно считать, что при х > 5 (х) = 0,5.

Замечание. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа дают достаточно хорошие приближения (т. е. могут использоваться на практике как точные формулы) при условии, что npq > 20.

Элементы математической статистики

1. Вариационные ряды и их характеристики

Вариационный ряд – это запись результатов измерений какой-либо случайной величины в виде последовательности чисел. Значения исследуемой случайной величины называют вариантами.

Упорядоченный вариационный ряд – это последовательность вариант, записанная в порядке возрастания (или убывания).

Для обработки результатов статистических наблюдений их удобно оформлять в виде таблицы частот.

Статистическое распределение – таблица частот, в которой указаны значения случайной величины x_i и соответствующие частоты т_i , показывающие, сколько раз в выборке встретилось данное значение случайной величины.

Для получения интервальной таблицы частот (интервального вариационного ряда) весь диапазон измеренных значений случайной величины Х делят на k интервалов (_i_i+1) и подсчитывают количество (т_i ) значений случайной величины, попавших на соответствующий интервал. Кроме того, в таблице указывают также величину – середину i-ого интервала (табл. 1).

Таблица 1. Интервальная таблица частот

№ интервала	Интервал	Середина интервала	Частота
i	(i , i+1)		тi
1	(1 , 2)		т1
2	(2 , 3)		m2
…	…	…	…
k	(k , k+1)		mk

Здесь m₁ + m₂ + ... + m_k = n (п – объем выборки, т. е. количество всех вариант).

Иногда вместо таблицы частот составляют таблицу относительных частот , (п – объем выборки), очевидно, .

Для графического представления вариационных рядов используют полигон, гистограмму, кумуляту.

Полигон – это ломаная, соединяющая точки с координатами (x_i; т_i).

Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки оси, равные интервалам (_i , _i+1), а высоты пропорциональны частотам т_i , (или относительным частотам w_i).

Кумулята (кумулятивная кривая) – это ломаная, соединяющая точки с координатами (x_i; т_i^н) или (x_i; w_i^н), где  – накопленная частота;  – накопленная относительная частота.

При обработке вариационных рядов обычно подсчитывают их сводные числовые характеристики: средние величины и показатели вариации.

К средним величинам относятся среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое всех вариант вычисляется по формуле

, (20)

где x_i  – значения вариант, п – общее количество вариант.

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по количеству элементов части:

. (21)

Мода – это варианта, которой соответствует наибольшая частота.

К показателям вариации относятся размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант: R = X_max – X_min .

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле . (22)

Среднее квадратичное отклонение (23)