Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Глазовский государственный инженерно-педагогический университет им. В.Г. Короленко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

К.Р. матем.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

430 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Методические указания

Комплексные числа.

Числа вида , где – действительная, ‒ мнимая части комплексного числа и и действительные числа, называются комплексными числами. называют действительной частью (обозначают ), а ‒ мнимой частью ( обозначают ) комплексного числа.

В электротехнике, где буква обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой .

Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Пример 1. Пусть , . Тогда:

На множестве комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицательный.

Пример 2. Решите уравнение .

Находим дискриминант:

Находим корни: ,

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Р ассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

П ример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа , , , , .

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

П усть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается или . Из рисунка очевидно, что .

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью , называется аргументом числа и обозначается или . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Обычно аргумент указывают в диапазоне от до . Кроме того у числа аргумент не определен.

Величину угла можно найти двумя способами:

I. Из системы уравнений ,

II формуле , где

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Тригонометрическая и показательная формы ‒ это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.

‒ тригонометрическая форма,

‒ комплексная форма.

Замечание. При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения и , иначе мы потеряем явное указание аргумента и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол получился отрицательным, то знак НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.

Для отыскания аргумента ( ) используют таблицу 1.

Таблица 1.


0		1		0		‒1		0
1		0		‒1		0		1
0	1		‒1	0	1		‒1	0
	1	0	‒1		1	0	‒1

Пример 4. Записать комплексные числа , , , , в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:

, , , , .

Находим модуль и аргумент у каждого числа:

, табличного значения нет, поэтому для определения аргумента воспользуемся вторым способом. , так как то . Получаем .

, ,

Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа

Для возведения комплексных чисел в степень используют формулу Муавра:

Пример 5. Вычислите , если z .

Решение. Находим тригонометрическую форму числа :

, , z

По формуле Муавра

Можно представить данное комплексное число в алгебраической форме

Для извлечения корня из комплексного числа используют формулу

где .

Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть , где и – действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем

Что равносильно системе .

Решая эту систему, получаем: , .

Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле

В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .

Пример 5. Найдите , если .

Решение. Запишем число . в тригонометрической форме:

, ,

Тогда где

При получим:

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Находим дискриминант: .

Найдем , , так как то в скобках перед мнимой единицей берем знак плюс. Следовательно .

Теперь находим корни квадратного уравнения

Дифференциальные исчисления функций одной переменной

Функция описывает зависимость между двумя переменными величинами и . Если независимая переменная в точке получила приращение (т.е. ), то переменная получит приращение .

Предел отношения , если стремится к нулю, называется производной функции в точке и обозначается или .

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Производная сложной функции

Пусть , где является не независимой переменной, а функцией независимой переменной , т.е. . Таким образом, . В этом случае функция называется сложной функцией , а переменная  промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Формулы дифференцирования

С – постоянная, и функции аргумента

1.	4.		7.
2.	5.
3.	6.
Основные элементарные функции		Сложные функции
		8а
		9а
		10а
		11а
		12а
		13а
		14а
		15а
		16а
		17а
		18а
		19а
		20а

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8:

Пример 7. Найти производную функции .

Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем

Пример 8. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

Пример 9. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 8а и 13, имеем: .

Вычислим значение производной при .

Пример 10. Найти производную функции .

Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим

Пример 11. Найти производную функции .

Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим

Пример 12. Найти производную функции .

Решение: полагая , получим .

Пример 13. Найти производную функции .

Решение.

Производные высших порядков

Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислять производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов: , , .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: , , .

Пример 14. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную: .

Пример 15. Найти вторую производную функции

Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Неопределенный интеграл.

Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

Определение: совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом, .

Здесь f(x)- подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Если функция имеет первообразную, то , .
Если - дифференцируемая функция, то , .
Если функция имеет первообразную, то при верно равенство .
Если функция и имеют первообразные, то .

Таблица неопределенных интегралов.

1. при	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.

Пример 16. Для функции , найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (2;2).

Решение: так как при всех верно равенство то - одна из первообразных функции . Следовательно, С – некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F(2)=2, то есть откуда . Значит, .

Пример 17. Найти интеграл .

Решение: .

Пример 18. Найти интеграл .

Решение:

Пример 19. Найти интеграл .

Решение: так как , то .

Пример 20. Найти интеграл .

Решение: так как , то .

Пример 21. Найти интеграл .

Решение: так как , то .

Пример 22. Найти интеграл .

Решение:

Определенный интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Определение. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида .

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: .

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: , то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки: , . Таким образом, имеем .