1.3. Понятие определителя
Числовой
характеристикой квадратной матрицы
является ее определитель или как его
еще называют детерменант. В отличии от
обозначения матриц для определителей
используют одинарные вертикальные
прямые. Например, определитель n-го
порядка соответствующий матрице
обозначают:
.
Дадим строгие определения:
Матрице первого
порядка
поставим в соответствие число, равное
величине элемента
и назовем его определителем первого
порядка
;
матрице второго порядка
- число, равное
и назовем его определителем второго
порядка
;
матрице третьего порядка
- число, равное
и назовем его
определителем третьего порядка
.
Замечание. Для вычисления определителя удобно пользоваться некоторыми правилами. Укажем два из них:
1) Правило Саррюса (правило треугольников)
Первые три, положительных слагаемых определяются по схеме (а), вторые три, отрицательные слагаемые по схеме (б)
Схема (а) Схема (б)
2) Правило расширения матрицы
Допишем к исходной матрице два первых ее столбца. Первые три, положительных слагаемых определяются по схеме (в), вторые три, отрицательные слагаемые по схеме (г)
Схема (в) Схема (г)
.
Пример 1. Вычислим определитель третьего порядка
Чтобы ввести определители более высоких порядков, исследуем определитель . Выразим его через определители по формуле
.
Эту формулу называют разложением определителя по первой строке. В аналогичной форме можно записать разложение определителя по любой другой строке или любому столбцу.
Анализируя эти
формы легко установить, что знак "+"
при элементе
ставится, если
-
четное число и знак "-", если
- нечетное число. Перенесем эти свойства
определителя
на случай произвольного порядка
.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу
порядка
и введем определения
Определение 1.
Минором
элемента
матрицы
называется определитель порядка
,
получающийся из исходной матрицы
вычеркиванием
й
строки и
го
столбца.
Определение 2.
Алгебраическим дополнением
элемента
матрицы
называется число
.
Пример 2.
Найдем миноры
и
и соответствующие им алгебраические
дополнения
и
матрицы
.
Согласно определениям
и
.
Определение 3. Определителем порядка n, соответствующего матрице называется число
.
(1)
Эту формулу называют разложением определителя по i-й строке.
Из предыдущих рассуждений следует аналогичное разложение определителя по любому столбцу j
.
(2)
Из данных определений
следует правило вычисления определителя
любого порядка n:
определитель
по формуле (1) или (2) выражается через
определители
,
а последние через определители
и т.д.
Пример 3.
Вычислить определитель
разлагая его по элементам, например,
3-го столбца. Согласно формуле (2), имеем
.