2.7. Понятие линейной зависимости и независимости величин

Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы

Рассмотрим матрицу

.

Обозначим ее первую строку , вторую - ,..., m-ю - .

Определение. Величины называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство

. (1)

Если же равенство (1) выполняется только при , то строки называются линейно независимыми.

Левую часть (1) называют линейной комбинацией строк .

Замечание. Природа величин может быть различной: строки матрицы, векторы, функции и т.д.

Лемма. Для того чтобы строки были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы одна из них являлась линейной комбинацией остальных.

Необходимость. Пусть величины линейно зависимы, тогда выполняется равенство (1), например, при . Поделив это равенство на , получим

. (2)

где .

Это означает, что является линейной комбинацией .

Достаточность . Пусть, например, является линейной комбинацией , т.е. имеет место равенство (2). Перепишем его в виде

.

Т.к. заведомо коэффициент при отличен от нуля, то величины линейно зависимы.

Теорема о базисном миноре.

а) Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы;

б) Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство.

а) Если базисные строки линейно зависимы, то по лемме одна из них была бы линейной комбинацией остальных строк и тогда по свойствам определителей базисный минор был бы равен нулю, что противоречит определению базисного минора.

б) Пусть базисный минор расположен в первых r строках и r столбцах матрицы . Тогда любой минор порядка r+1 и выше равен нулю. Построим минор порядка r+1, взяв в качестве r+1-й строки любую строку матрицы , а в качестве r+1-го столбца - любой ее j-й столбец. Раскладывая этот минор по j-му столбцу, имеем

.

В последнем слагаемом есть алгебраическое дополнение , минор которого совпадает с базисным. Поэтому . После деления равенства на , находим

,

где .

Таким образом, любая строка матрицы А является линейной комбинацией первых r строк базисного минора.

Аналогично доказывается утверждение теоремы для столбцов.

Следствие. Для того чтобы произвольный определитель был равен нулю необходимо и дос-таточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Необходимость. Пусть , тогда базисный минор имеет порядок . Отсюда следует, что хотя бы одна из строк является не базисной, а по теореме о базисном миноре, она является линейной комбинацией базисных строк, т.е. строки линейно зависимы.

Достаточность. Если строки определителя линейно зависимы, то по лемме одна из них является линейной комбинацией остальных. По свойствам определителей .

Теорема о ранге матрицы.

Ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов).

Доказательство. Пусть , тогда r строк матрицы в которых находится базисный минор линейно независимы. По теореме о базисном миноре любая добавленная к базисному минору строка является линейной комбинацией строк базисного минора. Поэтому число r является максимальным числом независимых строк.

Следствие. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Примеры. Являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно неза-висимыми

а) ;

б)

Решение.

а) Если векторы линейно зависимы, то такие, что выполняется равенство . Пусть , то после деления на имеем , где

или

Данная система несовместна, поэтому , следовательно, : .

Система векторов линейно независима.

б) Составим определитель

Система векторов линейно независима.