2. Умножение матриц.

Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.

Пусть даны две матрицы А = (а_ij)_mxр и В = (b_ij)_pxn .

Произведением этих матриц называется матрица С = (c_ij)_mxn , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

… … …. … … b_ij …

А = а₂₁ а₂₂ …. а_2n - i - строка B = … b_2j …

……………………… ..……………

… b_pj … _pxn

j - столбец

_{j столбец}

C_mxn = C_ij ^{i строка}

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + …+ a_ip b_pj

Пример.

3 1 6 1 4 3*1+1*2+6*(-1) 12+3-6 - 1 9

0 -1 2 2 3 = 0*1+(-1)*2+2*(-1) 0-2-2 = - 4 -4

5 2 4 3 _x3 -1 -1 _3x2 5+4-4 20+6-4 _3x2 5 22

Из определения произведения матриц следует, что не всякие матрицы можно умножать. А это означает, что из существования произведения АВ не вытекает существование ВА.

Действительно B_pxn*A_mxp не имеет смысла, если m≠n.

Если перемножаемые матрицы квадратные, то существуют и АВ и ВА, но АВ≠ВА в общем случае, то есть переместительный закон не имеет места при умножении матриц. Другие известные законы справедливы.

1. (А + В)С = АС + ВС (без перестановки)

2. k(AB) = (kA)B = A(kB)

3. ABC = (AB)C = A(BC)

4. AE = EA, если Е, А – квадратные матрицы, одинаковой размерности.

5. A^p = A*A*A…A - (р раз)

Транспонирование матриц.

Если в матрице A_mxn строки и столбцы поменять местами, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к исходной матрице.

а₁₁ а₂₁ …. a_m1

A^'=А^т = а₁₂ а₂₂ …. a_m2

…………………

а_1n a_2n …. a_{mn nxm}

Сама операция называется транспонированием.

1.(A')' = A 3.(A+B)' = A'+B'

2.(kA') = kA 4.(AB)' = B' A'