Понятие о линейной зависимости строк (столбцов).

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) её строк (столбцов). Рассмотрим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n e₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n e₂

A= ……………… -

a_i1 a_i2 … a_in e_i

……………… -

a_m1 a_m2 …a_mn e_m

Д ля строк введем обозначении е_i = (а_i1 а_i2 … а_in) для i=1,m.

Арифметические операции над строками матрицы (сложение строк, умножение строки на число) проводятся поэлементно.

Говорят, что строка e_k = (e_k1 e_k2 … e_kn) является линейной комбинацией строк e_q и e_p если существует два таких числа λ_q, λ_p (одновременно не равные нулю), что выполняется условие

e_k = λ_qe_q + λ_pe_p

Аналогично вводится понятие линейной комбинации для любого числа строк.

Определение. Строка em называется линейной комбинацией строк e₁, e₂, … , e_m-1, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа λ₁, λ₂, …, λ_n, т.е.

_m-1

e_m = λ₁e₁ + λ₂e₂ + … + λ_m-1e_m-1 =∑λ_i e_i

ⁱ⁼¹

П ример. Дана матрица

е₃ = 2е₁ + е₂

1 4 2 6 5 е₁

А= 0 2 -1 3 2 е₂

2 10 3 15 12 е₃

Определение. Строки матрицы e₁, e₂, … , e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁, λ₂, … , λ_m, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация _m

λ₁e₁ + λ₂e₂ + … + λ_m e_m =∑λ_i e_i = 0 – нулевая строка

^i-1

_m

Если линейная комбинация ∑λ_i e_i ≠ 0, строки матрицы называются линейно

в противном случае - линейно независимыми.

В рассмотренном выше примере 2е₁ + 1е₂ – 1е₃ = 0, значит, строки линейно зависимы (λ1= 2, λ2= 1, λ3= - 1).

Теорема. Ранг матрицы А равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов) и наоборот.

Линейная зависимость означает, что любая строка может быть представлена как комбинация остальных строк (см. пример).

Все линейно независимые строки называются базисным. Любую строку матрицы можно представить как линейную комбинацию базисных строк.

17