3.2.4. Система m линейных уравнений с n переменными.

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк, поэтому если строки расширенной матрицы (А│В), т.е. уравнения системы (3.2.1), линейно независимы, то ранг матрицы (А│В) равен числу ее уравнений, т.е. r = m, если уравнения линейно зависимы, то r < m.

Вопрос о разрешимости системы (3.2.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. r(A)= r(А│В). При этом:

1) если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система (3.2.1)имеет единственное решение.

2)если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r < n , то система (3.2.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (3.2.1) приведем в виде схемы

r<m – уравнения системы зависимые

r<n – система неопределенная (бесконечное множество решений)

r(A)≠ r(А│В)- система несовместная

Система m линейных уравнений с n переменными

r = m – уравнения системы независимые

r(A)= r(А│В) – система совместная

r=n – система определенная (единственное решение)

Пусть r<n. Тогда r переменных х₁, х₂, … х_r называются основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n- r называются неосновными, или свободными.

Придавая свободным переменным x_r+1, x_r+2, …, x_n произвольные значения, из последнего уравнения системы (3.2.9) найдем значение переменной х_r, из предпоследнего x_{r -1} и т.д. – остальные базисные переменные x₁, x₂, … , x_r-2.

Решение системы (3.2.1) в котором все n-r свободных переменных равны нулю, называется базисным.

Так как каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний, то и базисных решений имеется не более C­ ^r_n. Таким образом, совместная система m линейных уравнений с n переменными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее C­^r_n , где r≤m.

Приведенная схема не означает, что для решения системы (3.2.1) в общем случае необходимо вычислять отдельно, а затем сравнивать ранги матрицы системы А и расширенной матрицы (А/В). Достаточно сразу применить метод Гаусса.

Метод Гаусса по сравнению с другими методами (в частности, приведенными в параграфе) имеет следующие достоинства:

• значительно менее трудоемкий;

• позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);

• дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений (ранг матрицы системы).

Пример. Решить систему уравнений.

2 х₁ – х₂ + х₃ – х₄ = 5

х₁ + 2х₂ – 2х₃ + 3х₄ = -6

3х₁ + х₂ – х₃ + 2х₄ = -1

Т .к. в данной системе число уравнений меньше числа переменных (m=3, n=4), систему невозможно решать ни методом обратной матрицы, ни по формулам Крамера. Используем метод Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы

2 -1 1 -1 5

(А/В) = 1 2 -2 3 -6

3 1 -1 2 -1

Для удобства поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, и первое уравнение будем считать разрешающим с разрешающим элементом а₁₁≠0. Матрица (А/В) перейдет в эквивалентную

1 2 -2 3 -6

2 -1 1 -1 5

3 1 -1 2 -1

1 шаг. Под разрешающим элементом записываем нули, а остальные элементы пересчитываем (например, по правилу прямоугольника). Получаем:

1 2 -2 3 -6

0 -5 5 -7 17

0 -5 5 -7 17

Две одинаковые строки в матрице означают, что в системе после преобразований получены 2 одинаковых уравнения. Следовательно, одно из одинаковых уравнений (одну из одинаковых строк) можно отбросить. Получена матрица

1 2 -2 3 -6

0. -5 5 -7 17

1 2

Минор = -5 ≠ 0. Следовательно, ранг А/ В = 2

0. -5

Больше шагов не требуется.

В системе две переменные являются базисными. Это могут быть переменные х₁, х₂. Тогда остальные переменные х₃, х₄ можно считать свободными, через которые можно выразить базисные переменные. Из последней матрицы следует:

х₁ + 2х₂ – 2х₃ + 3х₄ = -6

- 5х₂ + 5х₃ – 7х₄ = 17

х₂= (5х₃ – 7х₄ - 17)

х₁ = - 6 - (5х₃ – 7х₄ - 17) + 2х₃ – х₄ = 9х₄ +

Найдем базисное решение, полагая, что свободные переменные х₃=х₄=0. Тогда х₁ = ; х₂ = - .

Получено базисное решение Χ = ( ).

Приняв за базисные переменные любую другую пару переменных, можно получить другие базисные решения. Число базисных решений

N = C²₄ = = 6.