4.3. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразования графиков.
Функция называется
явной,
если она задана формулой
,
в которой правая часть не содержит
зависимой переменной. Например,
.
Функция у
называется неявной,
если она задана уравнением
,
неразрешенным относительно зависимой
переменной. Например,
.
Иногда функцию, заданную неявно, можно
привести к явному виду, иногда это
сделать невозможно. Например,
- функция задана неявно. Приведем к
явному виду:
.
Графиком уравнения называется множество точек плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Основные элементарные функции.
К основным элементарным функциям относятся:
1. степенные функции
,
,
,
где n
– натуральное (
).
2. показательные
функции
(
,
).
3. логарифмические функции ( , ).
4. тригонометрические
функции
,
,
,
.
5. обратные
тригонометрические функции
,
,
,
.
Понятие элементарной функции. Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами:
а) с помощью алгебраических действий;
б) с помощью операций образования сложной функции.
О пределение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Например, функция
является элементарной,
так как здесь число операций сложения,
вычитания, умножения, деления и образования
сложной функции (
,
,
,
,
)
конечно.
Краткий обзор свойств основных элементарных функции представлен в таблице.
Таблица |
||||||
Обозна-чение функции |
Область опреде-ления Х |
Область значе-ний Y |
Четность, нечет-ность |
Монотон-ность |
Перио-дичность |
Графики функций |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1. Степенная функция |
||||||
|
(-∞;+∞)
|
(-∞;+∞), если n – нечетно [0;+∞), если n - четно |
Нечетная, если n – нечетно; четная, если n – четно |
Возрастает на (-∞;+∞), если n – нечетно; убывает на (-∞;0], если n – четно |
Н |
|
Продолжение таблицы |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
(-∞;0)U U(0;+∞) |
(-∞;0)U U(0;+∞)если n – нечетно [0;+∞), если n – четно |
Нечетная, если n – нечетно; четная, если n – четно |
Убывает на (-∞;0) и на (0;+∞), если n – нечетно; возрастает на (-∞;0) и убывает на (0;+∞), если n – четно |
Неперио-дическая |
|
|
(-∞;+∞) если n – нечетно [0;+∞) если n – четно
|
(-∞;+∞), если n – нечетно [0;+∞), если n - четно |
Нечетная, если n – нечетно; общего вида, если n – четно |
Возрастает на (-∞;+∞), если n – нечетно; возрастает на [0;+∞), если n – четно |
Неперио-дическая |
|
2. Показательная функция |
||||||
|
(-∞;+∞) |
(0;+∞) |
общего вида |
Возрастает на (-∞;+∞), если
|
Неперио-дическая |
|
3. Логарифмическая функция |
||||||
|
(0;+∞) |
(-∞;+∞) |
общего вида |
Возрастает на (0;+∞), если ; убывает на (0;+∞), если |
Неперио-дическая |
|
Продолжение таблицы |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
4. Тригонометрические функции |
||||||
|
(-∞;+∞) |
[-1;1] |
нечетная |
Возрастает на [-π/2+2πn;
π/2+2πn];
убывает на [π/2+2πn;
3π/2+2πn],
|
Период |
|
|
(-∞;+∞) |
[-1;1] |
четная |
Возрастает на [-π+2πn; 2πn]; убывает на [2πn; π+2πn], |
Период |
|
|
(-π/2+ +πn; π/2+πn);
|
(-∞;+∞) |
нечетная |
Возрастает на (-π/2+πn; π/2+πn); |
Период
|
|
|
(πn; π+πn);
|
(-∞;+∞) |
нечетная |
Убывает на (πn;π+πn);
|
Период |
|
5. Обратные тригонометрические функции |
||||||
|
[-1;1] |
[-π/2; π/2] |
нечетная |
Возрастает на [-1;1] |
Неперио-дическая |
|
|
[-1;1] |
[0;π] |
общего вида |
Убывает на [-1;1] |
Неперио-дическая |
|
Продолжение таблицы |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
(-∞;+∞) |
(-π/2; π/2) |
нечетная |
Возрастает на (-∞;+∞) |
Неперио-дическая |
|
|
(-∞;+∞) |
(0;π) |
общего вида |
Убывает на (-∞;+∞) |
Неперио-дическая |
|
еперио-дическая
;
убывает на (-∞;+∞), если
Классификация функций.
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
• целая рациональная функция (многочлен или полином):
;
• дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;
• иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая не алгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические функции.