10.2 Предел и непрерывность.

Большая часть анализа для функции одной переменной может быть перенесена на случай функции двух переменных.

О пределение. Окрестностью точки М_о (x₀ , y₀) называется круг радиуса с центром в точке М_о (x₀ , y₀).

Точка М (x,y) - произвольная точка окрестности. В этом случае , или (рис.10.4)

О пределение. Число А называют пределом функции при (или в точке М_о (x₀ , y₀)),если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для точек М (x,y), отстоящих от точки М_о (x₀ , y₀) на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

В таком случае записывают:

При выполнении пределов функции двух и более переменных имеют место все свойства пределов функции одной переменной, но практическая реализация этих свойств значительно сложней.

Примеры.

- неопределенность.

Введем переменную . Очевидно, при и . Тогда:

Пусть функция определена в точке М_о(x₀ , y₀) и некоторой её окрестности. Если аргументы x₀ и y₀ получат приращения и , то функция получит полное приращение

, где ,

О пределение. Функция называется непрерывной в точке М_о (x₀ , y₀), если при и предел приращения функции равен нулю, то есть

(10.1)

Из равенства (10.1) вытекает откуда, в свою очередь, получается (10.2)

Из равенства (10.2) вытекает еще одно определение непрерывности функции в точке.

О пределение. Функция называется непрерывной в точке М_о (x₀ , y₀), если:

1. она определена в точке М_о (x₀ , y₀);

2. имеет конечный предел при и ;

3. этот предел равен значению функции в точке М_о (x₀ , y₀).

Если в точке М_о (x₀ , y₀) условие непрерывности нарушено, то эта точка называется точкой разрыва функции .

Примеры. Найти точки разрыва функций.

Аналогично функции одной переменной вводится понятие непрерывности функции двух переменных в области D: функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Свойства функций, непрерывных в замкнутой области.

1. Функция , непрерывная в области D, ограничена в этой области, то есть , такое. что для любой точки М (x, y) D.

2. Если функция непрерывна в области D то она достигает в этой области наименьшего m и наибольшего M значений, то есть , такая, что и , такая, что для любой точки М (x, y) D.

3. Если функция меняет знак в области D , то , в которой .

3. Частные производные. Дифференциальные функции.

Рис.10.6

Пусть функция определена в точке М₀ (x, y) D и некоторой её окрестности. Её графиком является поверхность . Точке М₀ (x, y) соответствует на поверхности точка P₀(x₀,y₀,z₀) (Рис. 10.6). Дадим аргументам x и y приращения и соответственно. Тогда функция Z получит полное приращение

, где точка

. Если дать приращение только аргументу x, зафиксировав значение аргумента y , то функция z получит частное приращение , измеряемое величиной отрезка (Рис.10.6). Аналогично вводится понятие частного приращения равного величине .

О пределение. Предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента, когда последнее стремится к нулю, вычисленный в предположении того, что второй аргумент сохраняет постоянное значение (если этот предел существует), называется частной производной функции двух переменных по соответствующей переменной.

Обозначаются частные производные следующим образом:

Аналогично вводится понятие частных производных для функции трех и более переменных.

Геометрический смысл частных производных функций показан на рис. 10.6. Частная производная , где - угол наклона касательной к поверхности и осью ОX в сечении этой поверхности плоскостью x=x₀.

Пример. Найти частные производные функций

1. z = x² + y² - 3xy + x³y

Расматривая y как константу, а затем x как константу, получаем соответственно .

2.

Обобщая понятие дифференциала функции одной переменной на случай функции двух переменных, введем определения.

О пределение. Выражение называется полным дифференциалом функции двух переменных.

Как и для функции одной переменной для независимых переменных Следовательно, полный дифференциал в точке М_о (x₀ , y₀):

представляет собой линейное выражение. По аналогии с функцией одной переменной можно показать, что полное приращение функции f(x,y)

(10.3).

и - бесконечно малые величины. В этом случае дифференциал есть главная линейная часть приращения функции z = f(x,y).

Определение. Если полное приращение функции z = f(x,y) может быть представлено в виде (10.3), функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y).

Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в точке (x,y) и имеет в ней частные производные и . Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных, и если они непрерывны, то можно ставить вопрос о существовании для них производных по любому из аргументов. Эти производные называются частными производными второго порядка функции z.

;

;

;

и называются смешанными частными производными второго порядка. Имеет место следующая теорема.

Если смешанные частные производные второго порядка функции

z = f(x,y) непрерывны в некоторой точке М₀ (x₀, y₀), то они в ней равны =

Пример. Найти частные производные второго порядка функции . Находим частные производные первого порядка.

Убеждаемся, что