10.4 Экстремум функции двух переменных.

П онятия экстремума (максимума и минимума) для функции двух (и нескольких) переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной.

Определение. Точка М₀ (x₀ , y₀) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y)=,f(M), если существует окрестность этой точки, такая, что для всех точек М (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство ( (рис. 10.7 и 10.8)

Рис.10.7

Рис. 10.8

Как и функция одной переменной, функция двух переменных может в рассматриваемой области иметь несколько максимумов и минимумов, которые не следует путать с наибольшими (наименьшими) значениями функции в этой области.

Теорема. (Необходимое условие существование экстремума). Если точка М₀ (x₀ , y₀) есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x,y), то ее частные производные в этой точке и .

Д оказательство. Пусть точка М₀ (x₀ , y₀) – точка максимума. В этом случае функция одной переменной f(x,y₀) имеет максимум, значит, . Аналогично .

Пример. Рассмотрим функцию z = x*y, ее частные производные и обращаются в ноль в точке О(0,0). Но очевидно, что значения функции в этой точке z = 0. Однако легко показать, что в окрестности этой точки функция может принимать значения и больше и меньше нуля, то есть экстремума в ней нет.

Значит, равенство нулю частных производных первого порядка в некоторой точке не является достаточным для существования экстремума функции в этой точке. Точки, в которых частные производные и (или не существуют) называются критическими точками этой функции. Очевидно, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Т еорема. (Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных). Пусть функция :

а) определена в некоторой окрестности критической точки М₀ (x₀ , y₀);

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , . Тогда если , в точке М₀ (x₀ , y₀) функция имеет экстремум; причем, если А>0 (C>0) – минимум, если А<0(C<0) – то максимум. При < 0 функция в точке М₀ (x₀ , y₀) не имеет экстремума. Если , вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Пример. Найти экстремум функции

Найдем критические точки.

М₀ (-4 , 1) – критическая точка. Исследуем эту точку на экстремум.

Функция имеет в точке М₀ (-4 , 1) экстремум. Так как А=2>0, то в точке М₀ данная точка имеет минимум, и минимальное значение функции

10.5. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

Пусть изучается зависимость между двумя переменными х и у (эксперимент, опыт, наблюдение). В результате опыта получена таблица

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

По результатам наблюдения возможны погрешности. Отобразим результаты наблюдений точками М_i (x_i , y_i).

П

Рис.10.10

олученные точки говорят о том, что между переменными х и у явно прослеживается некоторая зависимость.

Если опыт повторить, то возможно будут получены другие точки. Но зависимость будет похожей. Это обусловлено рядом причин: помехи наблюдений, погрешности наблюдений и тому подобное.

Задача заключается в сглаживании экспериментальных данных, то есть в отыскании некоторой функции , которая как можно более точно отображала бы имеющуюся зависимость и описывала бы основную тенденцию изучаемого процесса, исключив погрешности наблюдений (измерений).

Ф ормулы, служащие для аналитического описания экспериментальных данных, называются эмпирическими формулами.

При этом должны быть решены две задачи:

1. Определить в общем вид зависимости , то есть решить является ли функция линейной, параболической, показательной (возможно, периодической) или какой-то другой.

К

Рис.10.11

онечно, кривых можно выбрать достаточно много и все они будут проходить через точки М_i (x_i , y_i). Две из них на рисунке10.11. Естественно выбрать ту, которая наиболее гладкая. В нашем случае это кривая (2). Но и о ней нельзя сказать, что она наилучшим способом описывает изучаемое явление, так как, во-первых, сами результаты наблюдений имеют погрешности, а, во-вторых, наблюдений (точки М_i) может быть недостаточно. Поэтому выбирают либо кривую таким образом, чтобы она была как можно проще, либо из каких-то теоретических предпосылок.

Если задача выбора вида функции решена, то переходят ко второму этапу – отысканию параметров выбранной зависимости. Эти параметры выбирают из тех (и только тех) соображений, чтобы отклонения экспериментальных точек М_i (x_i , y_i) были бы минимальными от точек с той же ….. абсциссой, лежащих на кривой. Эти отклонения обозначим через для каждой точки и назовем невязками.

При этом нас интересует не каждая невязка отдельно, а суммарная невязка:

Но при малых и при больших невязках сумма невязок близка к нулю из-за различия знаков невязок, то есть сумма невязок никак не характеризует качество выбранной эмпирической функции (как средняя температура по больнице). Другим показателем можно было бы выбрать . Но функция не является всюду дифференцируемой. Поэтому эмпирическую функцию выбирают из тех соображений, чтобы сумма квадратов невязок была минимальной. Такой способ подбора эмпирической формулы называется методом наименьших квадратов.

Используем метод наименьших квадратов (МНК), выбрав в качестве эмпирической функции линейную функцию .

Задача сводится к отысканию параметров а, b таких, чтобы величина - была бы минимальной.

S – есть функция двух переменных S, а величины х, у рассматриваются как заданные постоянные. В соответствии с необходимым условием существование экстремума потребует выполнения условий:

Из свойств суммы вытекает система (10.4), которая называется системой

н ормальных уравнений:

Ее определитель не равен нулю, следовательно, она имеет единственное решение.

Е сли оба уравнения разделить на n, то получим

Решив систему, можно построить эмпирическую кривую

Для решения системы удобно пользоваться таблицей

№
1 2 … n

Решив систему (10.4. ), найденные значения a и b подставим в уравнение искомой прямой получим линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость между величинами х и у, полученную в результате наблюдений.

Тема. Интегральное исчисление

Интеграл - одно из важнейших математических понятий. Он широко применяется во многих отраслях науки, техники, экономики; имеет мировоззренческое значение.

Цель: показать, что операция дифференцирования имеет обратную операцию – интегрирование. Эта операция неоднозначная, что следует из геометрического смысла неопределенного интеграла.

Задача: научиться различать является ли данный интеграл табличным (околотабличным); овладеть способами интегрирования, позволяющими сложные интегралы сводить к табличным.