2. О способах использования математической модели для исследования процессов

При любом способе использования математической модели для исследования некоторого реального процесса в первую очередь необходимо наметить совокупность искомых величин, т.е. тех характеристик процесса, параметров системы и начальных условий или функций от них, определение которых является целью исследования.

Кратко остановимся только на основных способах использования математической модели, а именно:

1) на аналитическом исследовании процессов;

2. исследовании процессов при помощи численных мето­дов (в том числе и с применением всех видов вы­числительной техники);

1. физическом моделировании процессов;

4) моделировании процессов на вычислительных маши­нах непрерывного действия (аналоговых установках или моделирующих машинах) и

5) моделировании процессов на цифровых вычислитель­ных машинах (машинах дискретного действия)^*.

Каждый из перечисленных способов имеет специ­фические свойства, определяющие сферу его эффектив­ного применения при решении различных теоретических и прикладных задач.

Рассмотрим вкратце мероприятия, проводимые при аналитическом исследовании процессов.

Как правило, математическая модель в своём первоначальном виде не может быть использована для аналитического исследования процесса. В частности, математическая модель вообще может не содержать в явном виде искомых величин. Необходимо преобразо­вать математическую модель в такую систему соотношений (например, уравнений) относительно искомых величин, которая допускает получение нужного ре­зультата аналитическими методами. Это преобразова­ние является наиболее существенным и в то же время часто наиболее трудным шагом при аналитическом ис­следовании процессов. Под получением результата здесь будем понимать либо построение явных фор­мул для искомых величин, либо приведение уравне­ний к виду, для которого решения известны, либо, наконец, проведение исследования уравнений качест­венными методами (например, оценка асимптотических значений искомых величин, оценка устойчивости реше­ний) и т.д.

Однако воспользоваться аналитическим исследова­нием удается сравнительно редко, так как преобразо­вание математической модели в систему уравнений, до­пускающую эффективное получение результатов, является трудной задачей, а для сложных процессов часто эти трудности оказываются непреодолимыми.

При решении многих прикладных (а иногда и теоретических задач) идут на умышленное отступление от первоначальной модели, на упрощение и огрубление её ради возможности получить хотя бы приближённое ре­шение задачи.

В случаях, когда не удаётся преобразовать ма­тематическую модель в подходящую систему уравнений, а упрощения задачи приводят к недопустимо грубым результатам, от аналитического исследования отка­зываются к переходят к другим способам использова­ния математической модели.

Более широкую сферу применения имеет исследова­ние процессов при помощи численных методов. Содержание работы при численном исследовании про­цессов остаётся в основном таким же, как и при использовании аналитических методов. Разница заклю­чается в том, что после выполнения наиболее трудной части работы - преобразования математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение численными методами, - необходимо вручную или с использованием вычислительной техники произвести вы­числения - реализовать соответствующий численный метод, В качестве результатов при исследовании про­цессов численными методами обычно получают таблицы значений искомых величин для конечного набора зна­чений параметров системы, начальных условий или времени.

Необходимо отметить, что класс уравнений для искомых величин, которые могут быть решены прибли­женно численными методами, значительно шире, чем класс уравнений, доступных аналитическому исследова­нию. Вместе с тем решение задач при использовании численных методов бывает обычно менее полным по сравнению с аналитическим исследованием, а в неко­торых весьма распространенных случаях ограничивается обследованием небольшого количества частных реализа­ции процесса.

Чрезвычайно неприятным является то обстоятельство, что математические модели сложных про­цессов в своём первоначальном виде далеко не всегда оказываются пригодными для применения численных ме­тодов, а преобразования математических моделей в соответствующую систему уравнений, как правило, ос­таются столь же сложными, как и в случае аналити­ческого исследования.

При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений относительно искомых величин. Для моделирования характерно воспроизведение явлений, описываемых математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени, а иногда и физического содержания, выполняемое при помощи специальных моделирующих установок или средств вычислительной техники,

Для моделирования процесса на ЭВМ необходимо преобразовывать математическую модель его в специ­альный моделирующий алгоритм.

При моделировании процессов на цифровых вычис­лительных машинах реализация моделирующего алгорит­ма является в некотором смысле имитацией элементар­ных явлений, составляющих исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, последователь­ности протекания во времени и особенно характера и состава информации о состояниях процесса.

Структура моделирующего алгоритма слабо зависит от совокупности искомых величин, а определяется главным образом строением математической модели.

Метод моделирования процессов на цифровых вычислительных машинах имеет весьма обширную сферу применения. Он дает возможность проводить достаточ­но полное исследование разнообразных процессов независимо от физической природы явлений, составляющих данный процесс, выбора совокупности искомых вели­чин и формулировки прикладных задач.