2.2 Деление окружности на равные части.

Деление окружности на три равные части, и построение правильного вписанного треугольника выполняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, например из точки А пересечения центровых линий с окружностью (рисунок 15), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной окружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на противоположном конце диаметра, проходящего через точку А. Последовательно соединив точки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный.

а) б)

Рисунок 15 Рисунок 16

При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рисунок 16). Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.

При делении окружности на 12 частей циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рисунок 17).

а) б)

Рисунок 17

Деление окружности на пять и десять равных частей и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника показано на рисунке 18.

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рисунок 18, а), получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиусом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В (рисунок 18, б). Отрезок 1В равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности (рисунок 18, в) радиусом R, равным отрезку 1В, делят окружность на пять равных частей.

а) б) в) г)

Рисунок 18

2.3 Сопряжения.

Сопряжение двух непараллельных прямых. Две непараллельные прямые располагаются друг к другу под утлом, который может быть прямым, тупым или острым. При выполнении чертежей деталей часто такие углы необходимо скруглить дугой заданного радиуса. Скругление углов на чертеже есть не что иное, как сопряжение двух непараллельных прямых дугой окружности заданного радиуса. Для выполнения сопряжения необходимо найти центр дуги сопряжения и точки сопряжения. Поскольку угол образован двумя прямыми, то проводят две линии центров параллельно каждой прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения (рисунок 21). Точка их пересечения будет центром дуги сопряжения.

а) б) в)

Рисунок 21

Для нахождения точек сопряжения из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямее и получают точки сопряжения. Зная точки и центр сопряжения, из точки О радиусом R проводят дугу сопряжения. При обводке чертежа следует сначала обвести дугу, а затем касательные прямые.

Плавный переход одной окружности в другую может происходить или непосредственным касанием, или через третий элемент - дугу окружности.

Касание двух окружностей может быть внешним (рисунок 22, а) или внутренним (рисунок 23 а).

Внешнее касание. При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их радиусов (рисунок 22).

Например, требуется построить плавный переход от окружности радиуса R к окружности радиуса R₁ с внешней стороны, точка касания не задана. К окружности радиуса R можно построить множество касательных окружностей радиуса R₁ с внешним касанием (рисунок 22, б). Их центры (О₁, О₂ и т. д.) будут находиться от центра О на одинаковом расстоянии, т. е. на окружности радиуса R2 =R + R1, проведенной из центра О заданной окружности. Точки касания

К, K₁ и т. д. лежат на прямых, соединяющих центры сопрягающихся окружностей (рисунок 22, б).

На рисунке 22, в показано построение внешне-1 го касания двух окружностей с произвольно выбранной точкой касания К.

а) б) в)

Рисунок 22

Внутреннее касание. При внутреннем касании двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окружности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов (рисунок 23).

Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса может быть внешним, внутренним и смешанным.

Внешнее сопряжение двух заданных окружностей дугой заданного радиуса. Даны две окружности радиусов R и R₁, (рисунок 24, а), требуется построить внешнее сопряжение дугой радиуса R₂. Известно, что для окружности радиуса R центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной суммой радиусов R + R₂ из центра О. Для окружности радиуса R₁ центр дуги сопряжения лежит на линии центров, проведенной радиусом R₄ = R₁ + R₂ из центра O1. Эти окружности (линии центров) проводят не полностью, а только до взаимного пересечения в точке О₂ (рисунок 24, а). Точка О₁ будет центром дуги сопряжения. Точка сопряжения лежит .на прямой, соединяющей центр дуги сопряжения с центром заданной окружности, поэтому, соединяя точку О₂ с точками О и О₁ (рисунок 24, б), в пересечении с заданными окружностями получают точки сопряжения К и K1. Из точки O₁ радиусом R₂ от точки К до точки К₁ проводится дуга сопряжения.

Внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса. Сопрягаемые окружности располагаются внутри сопрягающей дуги, и центр сопрягающей дуги будет находиться от центров заданных окружностей на расстоянии, равном разности радиусов (дуги и соответствующей окружности).

Рисунок 24

Даны две окружности с радиусами R и R₁ (рисунок 25, а), требуется построить внутреннее сопряжение дугой радиуса R₂ в верхней части. Известно, что для окружности радиуса R центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной радиусом R₃ = R₂ — R из центра О заданной окружности. Для окружности радиуса R₁ центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной радиусом R₄ = R₂ – R₁ из центра O₁ заданной окружности. В нижней части чертежа из центров О и O₁ радиусами R₃ и R₄ проводят дуги до взаимного пересечения в точке О₂, которая будет центром дуги сопряжения, так как является общей точкой для двух линий центров (рисунок 25, а). Находят точки сопряжения. Для этого точку O₂ (центр дуги сопряжения) соединяют с точками О и O1 прямыми линиями, которые продлевают до пересечения с заданными окружностями в точках К и К₁, которые будут точками сопряжения (рисунок 25, б).

Даны две окружности с радиусами R и R₁ (рисунок 26), требуется построить сопряжение дугой радиуса R₂ так, чтобы с окружностью радиуса R было внешнее касание, а с окружностью радиуса R₁ - внутреннее. Из центра О проводят дугу (линию центров) радиусом R₃, равным R+R₂ (рисунок 26), а из центра О₁ - линию центров радиусом R₄, равным R₂ – R₁ (рисунок 26). В пересечении линий центров получают точку О₂ (центр дуги сопряжения). Для нахождения точек сопряжения центр дуги сопряжения O₂ соединяют с центрами О и O₁ прямыми. Прямую О₂ O₁ продолжают. В пересечении этих прямых с заданными окружностями получают точки сопряжения К и К₁ Из точки O₂ дугой радиуса R₂ от точки К до точки K₁ проводят дугу сопряжения (рисунок 26).

Заданы прямая и дуга окружности R , требуется построить сопряжение дугой радиуса R1.

Рисунок 25 Рисунок 26