2.4 Лекальные кривые.

Лекальные кривые называют так потому, что они обводятся по лекалу.

П остроение эллипса по заданным осям. Заданы оси эллипса АВ (большая) и CD (малая), требуется построить эллипс. Проводят две взаимно перпендикулярные прямые и от точки их пересечения (точка О) откладывают вверх и вниз по половине малой оси, а влево и вправо - по половине большой оси (рисунок 27). Из точки О описывают две концентрические окружности: одну - через концы малой оси, а вторую - через концы большой оси. Большую окружность делят на любое число равных частей, например, двенадцать, все точки деления соединяют прямыми с точкой О. Эти двенадцать радиусов разделяют малую окружность тоже на двенадцать равных частей. Из всех двенадцати точек, лежащих на большой окружности, проводят прямые, параллельные малой оси, а из точек, лежащих на малой окружности, проводят прямые, параллельные большой оси эллипса, до пересечения друг с другом. В пересечении этих прямых получают точки, принадлежащие эллипсу. Затем эти точки соединяют от руки плавной линией и обводят по лекалу.

Рисунок 27

Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) - плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая без скольжения катится по прямой линии.

Заданы направляющая прямая CD и производящая окружность радиуса R с лежащей на ней точкой К, исходное положение которой Ко (рисунок 29). Проследим, какой путь пройдет точка К за один полный оборот окружности, катящейся по прямой CD. Это будет полный цикл кривой. Окружность за это время пройдет по прямой путь, равный длине развернутой окружности, т. е. L=2πR. Точка К после одного оборота окружности снова окажется на прямой CD в точке K₈.

Для определения промежуточных положений точки К. через равные промежутки фиксируют положение этой точки. Для этого делят окружность на любое число равных частей, например, на восемь, получают точки 1...8 (рисунок 29), проводят из точки О линию центров, на которой отмечают восемь промежуточных положений центров (O₁ O₈) производящей окружности, разделив L=2πR на восемь равных частей.

Когда окружность пройдет 1/8 своего пути, точка К сместится вправо и вверх и окажется над направляющей прямой CD на такой же высоте, на которой находится точка 1. Поэтому для построения промежуточной точки К₁ из точки 1 проводят прямую, параллельную CD, а из центра O₁ описывают часть окружности в ее промежуточном положении радиусом R до пересечения с этой прямой.

Это и будет первое промежуточное положение точки К. Аналогично строят остальные точки. Соединив точки К₀...K₈ плавной тонкой линией от руки, получают циклоиду, которую обводят по лекалу.

Рисунок 29

С пираль Архимеда — кривая, образованная движением точки, равномерно движущейся по прямой, которая, в свою очередь, равномерно вращается в плоскости вокруг неподвижной точки, принадлежащей этой прямой. Характер спирали Архимеда определяется шагом t, т. е. перемещение прямой может происходить как по часовой стрелке, так и против.

Рисунок 30

Чтобы построить спираль, необходимо зафиксировать несколько промежуточных положе­ний точки и прямой, по которой она перемещается. Для этого вспомогательная окружность, проведенная радиусом, равным t и отрезок О8, равный шагу, делятся на одинаковое число рав­ных частей, например, на восемь (рисунок 30). Начальная точка (Ко) совпадает с точкой О. Отрезок O8, по которому движется точка, вращается так, что один конец (точка О) неподвижен. При по­вороте отрезка на 1/8 полного угла (45°) точка К пройдет 1/8 своего пути. Поэтому если из цен­тра О радиусом O1 провести дугу до пересечения с прямой, проведенной через точку 1' и центр О, получим точку К₁ принадлежащую спирали. Если провести дугу радиусом O2 до пересече­ния с прямой O2', получится точка K₂, принадлежащая спирали, и т. д. При полном обороте от­резка O8 вокруг точки О отрезок совпадает со своим начальным положением, а точка К займет положение K₈.

Эвольвента окружности — плоская кривая линия, представляющая собой траекторию точки окружности при ее развертывании. Слово «эвольвента» — латинское, означает «развертывающий».

Заданную окружность делят на любое число равных дуг (в данном случае на восемь), полу­чают точки 1...8. Каждую точку деления соединяют с центром окружности (точка O). Из точки 8 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности (2teR). Этот отре­зок будет развернутой окружностью. Точка 8 будет принадлежать эвольвенте. Затем полученный отрезок делят на восемь равных частей и получают отрезки, равные 1/8 длины окружности, для определения длины каждой развернутой дуги. Далее через точки 1...8 проводят касательные и откладывают отрезки, равные длине соответствующей дуги. От точки 1 откладывают отрезок, равный длине развернутой дуги О' 1'. От точки 2 — отрезок, равный длине развернутой дуги O'2' и т. д. Получают точки К¹ ... К⁸, принадлежащие эвольвенте. Полученные точки соединяют плавной кривой линией, которую обводят по лекалу.

Рисунок 31