2.10 Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с r, l и c. Закон Ома в комплексной форме
Под действием напряжения в цепи возникает ток . При заданных параметрах элементов цепи , и задача сводится к определению действующих значений тока в цепи, напряжений на ее элементах и сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи.
Рис. 2.14. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и C. а — схема; б — изменение напряжения и тока; в — векторная диаграмма напряжений и тока.
Учитывая соотношения
,
и
,
так как
,
по второму закону Кирхгофа для последовательного соединения
.
Функция полностью определена, если известны амплитуда тока и сдвиг фаз между напряжением и током.
Для комплексных действующих величин
- реактивное
сопротивление.
- реактивная
проводимость.
- комплексное
электрическое сопротивление.
- полное
электрическое сопротивление цепи.
- полная электрическая
проводимость цепи.
- сдвиг фаз между
и
.
Комплексные напряжения на этих элементах
,
,
.
Для действующих величин
,
,
,
.
При построении векторной диаграммы в качестве задающего удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Задающий вектор совмещаем с положительным направлением вещественной оси.
2.11 Треугольники напряжений и сопротивлений
Если электрическая
цепь состоит из последовательно
соединенных элементов, то векторная
диаграмма напряжений имеет вид
прямоугольного треугольника. Гипотенуза
этого треугольника равна полному
напряжению
на зажимах цепи, а катеты треугольника —
активной
и реактивной
составляющим этого напряжения.
Из треугольников напряжений можно получить соотношения
,
,
где
,
.
После деления всех сторон треугольника напряжений на ток получим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений
Рис. 2.15. Треугольники сопротивлений
а — при
;
б — при
.
Стороны треугольника сопротивлений равны
,
,
.
Из треугольника сопротивлений
;
,
а также
.
2.12 Мощность цепи синусоидального тока
Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока
.
Пусть под действием
напряжения
в цепи возникает ток
.
Тогда мгновенная мощность цепи
Справка:
Таким образом,
мгновенное значение мощности имеет две
составляющие: постоянную, не изменяющуюся
во времени, и переменную, изменяющуюся
периодически с частотой
.
Вследствие этого мгновенное значение
мощности также изменяется с двойной
частотой. При этом мощность положительна,
если напряжение и ток совпадают по
направлению, и отрицательна, если
напряжение и ток имеют разные знаки.
Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия передается от источника к приемнику, и наоборот.
Для количественной
оценки электроэнергетических процессов
удобнее использовать среднее значение
мощности
,
которое можно найти, вычислив работу,
совершаемую за один период
.
Откуда
.
Подставив выражение
для
,
так как
.
Таким образом, среднее значение мощности равно постоянной составляющей мгновенного значения.
Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразования в другие виды энергии, то есть активный необратимый процесс.
Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью
и измеряют в ваттах (Вт).
1. В цепи с активным сопротивлением ,
.
В этом случае напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Это указывает на то, что при наличии в цепи только элемента с активным сопротивлением вся электроэнергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии.
Среднее значение мощности или активная мощность
,
так как
.
Поскольку на
элементе с сопротивлением
напряжение
,
активная мощность цепи может быть
определена как
.
Рис. 2.16. Изменение электрических величин в цепи с активным сопротивлением
а — напряжения и тока; б — мощности.
2. В цепи с катушкой
индуктивностью
,
.
Мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.
В моменты времени, когда ток и напряжение имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна и энергия передается от источника питания к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле.
В моменты времени, когда ток и напряжение противоположны по знаку, мощность отрицательна и запасенная в магнитном поле катушки энергия возвращается источнику питания. Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной.
Интенсивность
обмена электроэнергией характеризуется
реактивной мощностью
,
равной амплитуде мгновенного значения
мощности
.
Рис. 2.17. Изменение электрических величин в цепи с индуктивностью
а — напряжения и тока; б — мощности.
Реактивную мощность измеряют в вольт-амперах реактивных (В·Ар).
Реактивную индуктивную мощность можно также определить по формулам
.