Вопрос 2.
При проведении множественной корреляции не строится график, отражающий зависимость между результативным признаком и всеми факторными признаками одновременно. Строится столько графиков, сколько рассматривается факторных признаков.
Затем, используя метод аналитических группировок, подбираются факторные признаки для проведения множественного корреляционного анализа.
После этого проводят столько парных корреляционных анализов, сколько отобрано факторов для множественной модели.
В том случае, если коэффициенты парной корреляции показывают достаточно тесную связь между результативным и факторными признаками, критерии существенности подтверждают ее не случайность, а между самими факторными признаками отсутствует тесная связь, можно переходить ко множественному корреляционному анализу.
Введем условные обозначения:
у – результативный признак;
х1, х2, х3 и т. д. – факторные признаки.
Мы уже говорили о том, что корреляционный анализ предусматривает решение 2-х задач:
- определение формы связи с помощью регрессионного уравнения;
- определение тесноты связи.
Если результативный признак находится в корреляционной зависимости от многих факторов, то выражающие эту зависимость уравнения называются многофакторными корреляционными уравнениями.
Если исследователь не может заранее однозначно решить вопрос о форме множественной связи, он исходит из того, что связь прямолинейная и использует линейное уравнение или уравнения приводимые к линейному виду с последующей оценкой на криволинейность.
Вычисленное уравнение связи может иметь практическое значение только для той массы случаев, для которой оно вычислено. Распространить его на другие массы возможно лишь в том случае, если доказана аналогия условий места, времени и однотипность явлений, на которые распространяются выводы.
Формула линейного уравнения множественной корреляции имеет вид:
Ух1х2х3…хn = а0 + а1х1 + а2х2 + …+аnхn
Для дальнейшего рассмотрения множественной модели мы будем использовать два признака-фактора х1 и х2. Для данного конкретного случая формула линейного уравнения примет вид:
Ух1х2 = а0 +а1х1 +а2х2
Параметры корреляционного уравнения могут быть найдены различными способами, но наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.
В ходе решения отыскиваются параметры а0, а1, а2. При методе наименьших квадратов оптимизирующим условием является следующее: сумма квадратов отклонений теоретических уровней от фактических должна быть минимальной, т. е.:
Для того, чтобы выполнялось это условие, неизвестные параметры должны быть найдены из системы "нормальных" уравнений:
После решения системы уравнений и нахождения неизвестных параметров, рассчитывают теоретические уровни.
Сумма теоретических уровней должна совпадать с суммой эмпирических значений "у":
Логический прием проверки. Для проверки можно ориентироваться на размерность коэффициентов регрессии парной корреляции:
Раскроем экономическое содержание параметров линейного уравнения множественной корреляции:
а 0 – математическое начало отсчета, экономического смысла не имеет;
а1 – коэффициент регрессии, показывает как изменяется результативный признак при увеличении первого факторного на единицу своего измерения, при условии, что второй факторный признак, забирая долю влияния, остается на неизменном зафиксированном уровне;
а2 - коэффициент регрессии, показывает, как изменяется результативный признак при увеличении второго факторного признака на единицу своего измерения, при условии, что первый факторный признак остается неизменным, но забирает долю своего влияния.
Коэффициенты а1, а2, ….аn - называют чистыми (или частными) коэффициентами регрессии. Термин «чистый» добавляется для обозначения того, что эти коэффициенты показывают отношение зависимости "у" от х1, ….хn при исключении (очищении) сопутствующего влияния одной или нескольких независимых переменных.
Прямое сравнение коэффициентов регрессии в уравнении множественной регрессии дает представление о степени влияния факторных признаков на результативный признак только тогда, когда они выражаются в одинаковых единицах измерения и имеют примерно одинаковую колеблемость.
В общем случае, чтобы сделать коэффициент регрессии сопоставимым, применяют коэффициенты регрессии (Эi):
Коэффициент эластичности приводит к единым единицам измерения (%), позволяет выявить какой из факторных признаков оказывает более существенное влияние на результативный признак при фиксированном значении остальных факторов на каком-либо уровне.
– коэффициент показывает, на сколько ( - мера колеблемости) изменяется результативный признак "у" при увеличении соответствующего "х" на одну сигму.
– коэффициент не имеет экономического содержания, чисто математический показатель, указывает, какой из факторов оказывает наибольшее влияние на результативный признак.
Вторая задача корреляционного анализа – выявление тесноты связи.
Метод частной корреляции позволяет выявить "чистую" зависимость результативного признака (у) от каждого факторного признака и установить каково было бы влияние этого факторного признака на величину результативного при условии, что другой факторный признак (х2) оставался бы неизменным.
Формулы для расчета частных коэффициентов корреляции имеют вид:
Для определения тесноты линейной связи между результативным признаком и двумя или несколькими факторными используется множественный коэффициент корреляции:
Коэффициент множественной детерминации показывает, какая доля вариации результативного признака связана с действием введенных в модель факторов и определяется по формуле:
По коэффициенту множественной детерминации можно судить о правильности подбора факторных признаков.
Если D = 60% и более, то говорят, что факторы подобраны удачно.
Существенность и достоверность коэффициента множественной корреляции определяется:
а) с помощью критерия Стьюдента:
,
где: n – объем исследуемых пар;
k – число факторов.
Число степеней свободы определяется по формуле:
у = n – k – 1
б) с использованием критерия Снедекора:
,
где: F – критерий Снедекора с n 1 = k – 1 и n2 = n – k
в) по критерию Фишера:
f1 = m; m – число факторов
f2 = n – m – 1