П.6 Матричный способ решения слу

• Уравнения, в которых роль слагаемых или множителей играют матрицы, называются матричными.

Порядок работы с матричными уравнениями, содержащими сумму (разность) матриц и умножение матрицы на число, аналогичен порядку работы с числовыми уравнениями.

Например: .

При нахождении неизвестного множителя произведения матриц необходимо учитывать антикоммутативный закон умножения матриц:

Пусть имеем СЛУ:

Введём матрицы: , , .

Тогда исходная СЛУ примет вид .

Выражая неизвестную матрицу , получим: .

Матричный способ решения СЛУ применим только для случая квадратной матрицы , т. е. когда число уравнений равно числу неизвестных .

При этом обратная матрица не всегда существует.

П.11 Правило Крамера для решения слу

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений:

Составим и вычислим определители через разложение по элементам столбца:

− основной определитель

– вспомогательные определители, полученные из заменой i-ого столбца коэффициентов при столбцом свободных членов

;

, … ,

.

Используя формулу матричного способа решения СЛУ, имеем:

Отсюда следует: ,

,

….

.

Правило Крамера
	СЛУ	СЛОУ
	единственное решение:	Единственное решение (нулевое):
	бесконечно много решений	бесконечно много решений
	Нет решений

Пример.

Решение.  = ;

₁ = , ;

₂ = , ;

₃ = , .

Ответ: .

П.15 Решение слу методом Жордана−Гаусса

Одним из наиболее эффективных методов решения СЛУ является метод последовательного исключения переменных. При этом уравнения можно:

− переставлять;

− умножать на ненулевое число;

− почленно складывать;

− переставлять слагаемые местами.

При этом работа ведётся, вообще говоря, с числовыми коэффициентами при переменных и со свободными слагаемыми.

Т. е. работая с расширенной матрицей системы

аналогичным образом: − элементарными преобразованиями строк,

− вычёркивая нулевые строки расширенной матрицы,

− переставляя столбцы основной матрицы,

можно получить эквивалентную матрицу: (*)

Полученной матрице будет соответствовать СЛУ:

Если , то СЛУ несовместна. При этом ранг (r) основной матрицы в (*) будет не равен рангу (r+1) расширенной матрицы в (*).

Если , то СЛУ совместна. При этом ранг (r) основной матрицы в (*) будет равен рангу (r) расширенной матрицы в (*).

Теорема Кронекера-Капелли. (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик) СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .

• При исходная система равносильна определённой системе

имеющей единственное решение.

• При исходная система равносильна неопределённой системе

имеющей бесчисленное множество решений.

• Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы,называются базисными переменными, а остальные – свободными переменными.

Задавая произвольным образом значения свободным переменным, получим соответствующие значения базисных переменных.

• СЛОУ всегда совместна, т.к. на значение ранга расширенной матрицы не влияет нулевой столбец свободных чисел. При этом:

Если или (при ), то однородная система имеет единственное нулевое решение.

Если или (при ), то однородная система имеет бесчисленно много решений.