П.13 Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы

Две строки матрицы равны между собой, если равны соответствующие элементы строк.

Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся поэлементно.

• Строка матрицы называется линейной комбинацией строк матрицы , если существуют числа такие, что справедливо равенство: .

• Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют числа , одновременно не равные нулю, такие, что линейная комбинация строк равна нулевой строке: .

• Строки матрицы называются линейно независимыми, если линейная комбинация строк равна нулевой строке только тогда, когда все числа равны нулю.

Теорема. Строки матрицы −ЛЗ тогда и только тогда, когда хотя бы одна из строк является линейной комбинацией других.

►1) Пусть строки −ЛЗ. Тогда найдутся числа , одновременно не равные нулю, такие, что линейная комбинация строк равна нулевой строке: .

Пусть . Тогда из нулевой линейной комбинации можно выразить строку − т.е. строка является линейной комбинацией строк .

2) Пусть строка является линейной комбинацией строк .

Тогда найдутся числа , такие что .

Тогда справедливо равенство: .

Или: .

Т.е. нашлись числа , одновременно не равные нулю , такие, что линейная комбинация строк равна нулевой строке. Следовательно, по определению, строки −ЛЗ. ■

П.16 Фундаментальная система решений

• Решения СЛУ: ..., называются линейно независимыми, если их линейная комбинация дает нулевой столбец-вектор только при

Число (k) линейно независимых решений совместной СЛОУ равно , где r − ранг матрицы.

• Любые ЛНЗ-решений СЛОУ называются ее фундаментальной системой решений (ФСР).

Любая линейная комбинация фундаментальной системы решений СЛОУ является ее решением.

Любое решение СЛОУ является линейной комбинацией фундаментальной системы её решений, то есть любое решение СЛОУ имеет вид: , где – ФСР.

Общее решение неоднородной системы (СЛУ) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения исходной неоднородной системы: .

29