Сводка основных типов отношений

Таблица 1.

С в-ва отноТип шения отношения	Рефлексивность	Симметричность	Транзитивность	Антирефлексивность	Антисимметричность	Связность
Эквивалентность	+	+	+
Строгий Порядок			+	+	(+)
Нестрогий порядок	+		+		+
Строгий линейный порядок			+	+	(+)	+
Нестрогий линейный порядок	+		+		+	+
Строгий частичный порядок			+	+	(+)	–
Нестрогий частичный порядок	+		+		+	–

Скобки означают, что это свойство вытекает из остальных.

Замечание. Условимся под анкетой отношения понимать указание всех основных свойств, которыми оно обладает и которыми не обладает, и соотнесение отношения к соответствующему типу, если это возможно.

Пример. Составить анкету отношений, заданных на множестве треугольником условиями:

а) ;

б) ;

в) ,

где через обозначается площадь треугольника из .

□ а) Пусть – произвольные треугольники. Имеем

1) , так как , и поэтому – рефлексивное отношение (словами, площади равных треугольников равны);

2) и поэтому – симметричное отношение (словами, если площадь треугольника равна площади треугольника , то и площадь треугольника равна площади треугольника );

3) и поэтому – транзитивное отношение (словами, если площадь треугольника равна площади треугольника и площадь треугольника равна площади треугольника , то площадь треугольника равна площади треугольника );

4) отношение не является антирефлексивным, так оно рефлексивно и не включается в диагональ;

5) отношение не является антисимметричным отношением, так как неравные треугольники могут иметь равные площади, т.е. истинно высказывание, отрицающее свойство антисимметричности:

;

6) отношение не является связным, так как существуют неравные треугольники, имеющие различные площади, т.е. истинно высказывание, отрицающее свойство связности:

.

Заполнив табл. 2

Таблица 2.

С в-ва отно- Обозн. шения отношения	Рефлексивность	Симметричность	Транзитивность	Антирефлексивность	Антисимметричность	Связность
	+	+	+	–	–	–

и сравнив ее с табл. 1, делаем вывод, что отношение есть отношение эквивалентности на множестве треугольников. В один класс этой эквивалентности попадают треугольники, которые имеют равные площади.

Таким образом, анкета для отношения составлена.

Ниже мы приведем анкеты для отношений и в виде уже заполненной таблицы (обоснование ее предоставляется читателю).

Таблица 3.

С в-ва отно- Обозн. шения отношения	Рефлексивность	Симметричность	Транзитивность	Антирефлексивность	Антисимметричность	Связность
	+	–	+	–	–	–
	–	–	+	+	–	–

Сравнивая табл. 3 с табл. 1, делаем вывод, что отношения и нельзя отнести ни какому указанному там типу отношений.