4.2.4. Пример решения задачи №4.

Д ля решения этой задачи необходимо знать весь учебный материал по предмету электротехника, уметь строить векторные диаграммы, знать соотношения между линейными и фазными напряжениями и токами при соединении потребителей «звездой» и «треугольником», уметь определять ток в нулевом проводе при соединении «звезда» и определять линейные токи при известных фазных напряжениях при соединении «треугольник».

5.4.2. Пример 1.

Дано: В трехфазную четырехпроводную сеть включили звездой несимметричную нагрузку:

в фазу А – индуктивный элемент с индуктивностью L_A=31,8 мГн;

в фазу В – резистор R_В = З Ом и конденсатор с емкостью С_В=795 мкФ;

в фазу С – резистор R_С = 10 Ом.

Линейное напряжение сети U_Н = 380 B

Определить: фазные токи I_A, I_B, I_C, активную мощность цепи Р, реактивную мощность Q и полную мощность S при частоте сети 50 Гц. Построить векторную диаграмму и по ней определить ток в нулевом проводе.

Решение:

1. Фазные напряжения:

U_A = U_B = U_C = U_Ф; U_Н (номинальное) = U_Л (линейное)

В четырехпроводной цепи с нулевым проводом при любой нагрузке фаз выполняется соотношение U_Л = U_Ф , следовательно:

U_A = U_B = U_C = U_Ф = = = 220 В;

2. Сопротивление индуктивного элемента L_A:

X_A= 2πƒL_A =2  3,14  50  31,8  10^-3 = 10 Ом;

3. Сопротивление конденсатора в фазе B:

Х_B = = = 4 Ом;

4. Полное сопротивление фазы B:

Ζ_B = = = 5 Ом;

5. По закону Ома фазные токи:

I_A = = = 22А; I_В = = = 44А; I_С = = = 22 А;

6. Векторную диаграмма для нахождения тока в нулевом проводе:

Из первого закона Кирхгофа следует, что

И

M_I = 10 А/см;

M_U = 50 В/см

ндуктивный ток фазы А отстает от напряжения U_A на 90°, так как включена емкость:

cos φ_А = = = 0 , φ_А = 90°

Угол сдвига фаз между током I_B и напряжением U_B:

cos φ_В = = = 0,6 , φ_В = 53°10´

При наличии конденсатора ток I_B опережает напряжение U_B на угол 53°10´.

Ток фазы С совпадает с напряжением U_C, так как в фазе С включен элемент R_C.

Фазные напряжения U_A ,U_B ,U_C сдвинуты по фазе на 120°.

Для построения диаграммы выбираем масштабы тока и напряжения:

Длина вектора тока I_O равна 4,4см, следовательно, I_O = 44 А.

7. Активные мощности фаз:

P_A = I_A²  R_A = 0, так как R_A = 0

P_В = I_В²  R_В = 44²  3 = 5808 Вт

P_С = I_С²  R_С = 22²  10 = 4840 Вт

8. Общая активная мощность цепи:

P = P_A + P_В + P_С = 0 + 5808 + 4840 = 10,65 кВт

9. Реактивные мощности фаз:

Q_A = I_A²  X_A = 22²  10 = 4840 вар

Q_В = I_В²  (–X_В) = 44²  (–4) = –7744 вар

Q_С = I_С²  X_С = 0, так как X_С = 0

10. Общая реактивная мощность цепи:

Q = Q_A + Q_В + Q_С = 4840 – 7744 + 0 = –2904 вар = –2,9 квар

11. Полная мощность трехфазной цепи:

S = = = 11 кВА

Ответ: I_A = 22 А; I_В = 44 А; I_С = 22 А; I_О = 44 А; P = 10,65 кВт; Q = –2,9 квар; S = 11 кВА

5.4.2. Пример 2.

В трехфазную сеть включили треугольником несимметричную нагрузку. В фазу АВ – конденсатор, С_АВ= 318 мкФ; в фазу ВС – катушку с R_ВС= 4 Ом и индуктивностью L_ВС= 9,5 мГн; в фазу СА резистор, R_СА= 10 Ом. Линейное напряжение U_HOM= 220 В.

Определить фазные и линейные токи при частоте ƒ = 50 Гц. Линейные токи определить с помощью векторной диаграммы, активную, реактивную и полную мощности потребителей трехфазной цепи.

С_АВ= 318 мкФ; R_ВС= 4 Ом; L_ВС= 9,5 мГн; R_СА= 10 Ом; ƒ = 50 Гц; U_HOM= 220 В.

Определить: I_AB, I_BC, I_CA, I_A, I_B, I_C, P, Q, S - ?

Решение:

1. При соединении потребителей треугольником выполняется соотношение:

U_HOM = U_лин = U_Ф = U_АВ = U_ВС = U_СА = 220 В;

2. Сопротивление конденсатора в фазе АВ:

Х_АВ = = = 10 Ом;

3. Индуктивное сопротивление катушки в фазе ВС:

X_ВС= 2πƒL_ВС =2  3,14  50  9,6  10^-3 = 3 Ом;

4. Полное сопротивление фазы ВС:

Ζ_BС = = = 5 Ом;

5. Фазные токи:

I_AВ = = = 22А; I_ВС = = = 44А; I_СА = = = 22 А;

6. Построение векторной диаграммы линейных токов на основании уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа:

; ;

; ;

Ток I_AВ в фазе АВ опережает напряжение U_АВ на 90°, так как включена емкость:

cos φ_АВ = = = 0 , φ_АВ = 90°;

Угол сдвига фаз между током I_ВС и напряжением U_ВС равен:

c

M_I = 10 А/см;

M_U = 50 В/см

os φ_ВС = = = 0,8 , φ_ВС = 36°50´;

Ток I_ВС отстает по фазе от U_ВС на 36°50´.

Ток I_СА фазы СА совпадает по фазе с напряжением U_СА, φ_СА = 0°.

Фазные напряжения сдвинуты по фазе на 120°.

Длины векторов токов и напряжений:

Вектор I_АВ = 2,2 см; вектор I_ВС = 4,4 см; вектор I_СА = 2,2 см; вектор U_Ф = 4,4 см.

вектор I_А = 1,1 см, I_А = 11 А;

вектор I_B = 5,6 см, I_B = 56 А;

вектор I_С = 4,6 см, I_С = 46 А;

9. Активные фазные мощности:

P_AВ = I_AВ²  R_AВ = 0, так как R_AВ = 0

P_ВС = I_ВС²  R_ВС = 44²  4 = 7744 Вт

P_СА = I_СА²  R_СА = 22²  10 = 4840 Вт

10. Общая активная мощность потребителей:

P = P_AВ + P_ВС + P_СА = 0 + 7744 + 4840 = 12584 ВТ = 12,6 кВт

11. Реактивные мощности фаз:

Q_АВ = I²_AB  (-Х_AB) = 22²  (-10) = – 4840 вар

Q_BC = I²_BCX_BC = 44²  3 = 5808 вар

Q_CA = I²_САX_CA = 0, т.к. X_CA = 0

12. Общая реактивная мощность потребителей:

Q = Q_АВ + Q_BC + Q_CA = – 4840 + 5808 + 0 = 986 вар ≈ 0,97 квар

13. Полная мощность трёхфазной цепи:

S = = 12,64 кВА

Ответ: I_AB = 22 A; I_BC = 44 А; I_CA = 2 А; I_A = 10 А; I_B = 55 А; I_C = 46 А; P = 12,6 квар; Q= 0,97 квар; S = 12,64 кВА.