3. Гипотеза о линейности данных.

Задача 3.1. После определения значений параметров с помощью метода наименьших квадратов необходимо проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально зарегистрированная зависимость является линейной.

Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону:

R_t = R₀(1 + αt) = R₀ + R₀αt.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 2).

Таблица 2

n	t, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)2
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

Решение:

Обратимся к выражению, задающему остаточную сумму квадратов:

где в качестве a и b использованы их экспериментальные оценки.

Величины χ²(n,α) приведены в табл.5: α=0,75, n=5, χ²(n,α)=2.8.

Если неравенство не выполнено, то гипотеза о линейности отвергается. Вместе с тем, возможны другие причины несоблюдения неравенства – необходимо проверить положения, при которых правомерно применение метода наименьших квадратов.

Таблица Стьюдента

Практическое занятие 6. Статистическая проверка гипотез Вариант №1

Задача 1. Рассмотрим набор результатов x₁, x₂, …, x_n многократного измерения нормально распределенной величины x. Проверяется гипотеза о том, что , где – заданное значение измеряемой величины, равное 1.25.

x	1.12	1.14	1.85	1.54	1.62	1.14	1.16	1.20	1.23	1.25	1.14	1.26
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Задача 2. Рассмотрим следующую ситуацию. Из двух независимых экспериментов получены две группы результатов многократных измерений x₁, x₂,.......,x_n1 и y₁, y₂,....y_n2 нормально распределенных величин x и y.

n	x	y
1	1.12	1.11
2	1.14	1.51
3	1.85	1.45
4	1.54	1.58
5	1.62	1.16
6	1.14	1.41
7	1.16	1.68
8	1.20	1.02
9	1.23	1.06
10	1.25	1.07
11	1.14	1.16
12	1.26	1.20

Проверяют гипотезу о том, что  .

Задача 3. После определения значений параметров с помощью метода наименьших квадратов необходимо проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально зарегистрированная зависимость является линейной.

Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону:

R_t = R₀(1 + αt) = R₀ + R₀αt.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 1).

Таблица 1

n	t, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)2
1	23	1.242				0.008
2	59	1.326				-0.04
3	84	1.386				-0.1
4	96	1.417				-0.12
5	120	1.512				0.02
6	133	1.520				-0.06
∑			–			–
∑/n			–	–	–	–	–