Основные свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции.

2. Значения коэффициентов корреляции есть безразмерная величина, которая не может быть меньше -1 и больше +1, т.е.Значения коэффициентов корреляции – это отвлеченные числа, лежащее в пределах. -1 ≤ ≤ 1.

3. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует, = 0.

4. При положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции приобретает положительный(+)знак и находится в пределах от 0 до +1, т.е. .

5. При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным(–)знаком и находится в пределах от 0 до –1, т.е. .

6. Чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к |1|. Если r =±1, то корреляционная связь переходит в функциональную, т.е. каждому значению признака Х будет соответствовать одно или несколько строго определенных значений признака Y.

7. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы k = n –2, где: n – число коррелируемых пар показателей Х и Y. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции.

Формулы для вычисления коэффициента корреляции

Общая классификация корреляционных связей

(по Ивантер Э.В., Коросову А.В., 1992):

• сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;

• средняя при 0,50<r<0,69;

• умеренная при 0,30<r<0,49;

• слабая при 0,20<r<0,29;

• очень слабая при r<0,19.

§2. Определение качества модели регрессии.

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данные достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

2.1. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии

Чтобы построенную модель можно было использовать для дальнейших экономических расчетов, например, для построения прогноза зависимой переменной, проверки качества построенной модели недостаточно. Необходимо также проверить значимость полученных с помощью метода наименьших квадратов оценок коэффициентов регрессии, значимость парного линейного коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом с помощью статистических гипотез.

При проверке значимости (предположения того, что параметры отличаются от нуля) коэффициентов регрессии выдвигается основная гипотеза H₀ о незначимости полученных оценок, например:H₀: β₁=0 или H₀: β₀=0. В качестве альтернативной (или обратной) выдвигается гипотеза о значимости коэффициентов регрессииH₁: β₁≠0 или H₁: β₀≠0.

Для проверки выдвинутых гипотез используется t-критерий (t-статистика) Стьюдента. Наблюдаемое значение t-критерия, вычисленное на основе выборочных данных, сравнивают со значением t-критерия, определяемого по таблице распределения Стьюдента. Значение t-статистики, найденное по таблице, называется критическим. Критическое значение t-критерия зависит от двух параметров: уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровень значимости α — величина, определяемая по формуле: α=1−γ, гдеγ — доверительная вероятность попадания оцениваемого параметра в доверительный интервал. Данную величину необходимо брать близкую к единице (0,95-0,99). Таким образом, α — это вероятность того, что оцениваемый параметр не попадет в доверительный интервал, равная 0,05 или 0,01.

Число степеней свободы — показатель, который определяется как разность между объемом выборки (n) и числом оцениваемых параметров по данной выборке (m). Для модели парной линейной регрессии число степеней свободы рассчитывается как(n−2), так как по выборке оцениваются два параметра: β₀иβ₁.

Выдвинутые гипотезы проверяются следующим образом:

1) если модуль наблюдаемого значения t-критерия больше критического значения t-критерия, т. е. |t_набл| >t_крит, то основную гипотезу о незначимости параметров регрессии отвергают, т. е. параметры регрессии не равны нулю;

2) если |t_набл| ≤t_крит, то нет оснований отвергать основную гипотезу о незначимости параметров регрессии, т. е. параметры регрессии почти не отличаются от нуля или равны нулю.

Величина коэффициента регрессии сравнивается с его стандартной ошибкой; определяется фактическое значение t – критерия Стьюдента

.

Процедура оценивания существенности a не отличается от таковой для параметра b. При этом фактическое значение t-критерия вычисляется по формуле:

.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

,

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

Здесь проверяется нулевая гипотеза в виде H₀:β₁=0 илиH₀: β₀=0 – проверка наличия статистической связи междуy и х или её отсутствия.