2.4.Коэффициент детерминации
Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле
Величина R2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.
0≤R2≤1.
Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R2=1, то эмпирические точки (xi, yi) лежат на линии регрессии между переменными Y и X существует линейная функциональная зависимость. Если R2=0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс.
В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции.
2.5. Адекватность регрессионной модели
Адекватность регрессионной модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Допустимый предел значений не более 8-10%.
Пример: По данным опроса 8 групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.
Расходы на продукты питания, у, тыс. руб. |
0,9 |
1,2 |
1,8 |
2,2 |
2,6 |
2,9 |
3,3 |
3,8 |
доходы семьи, х, тыс. руб. |
1,2 |
3,1 |
5,3 |
7,4 |
9,6 |
11,8 |
14,5 |
18,7 |
Составить уравнение зависимости расходов на продукты питания от доходов семьи, предположив, что связь линейна.
Решение.
Составим расчетную таблицу
№ |
x |
y |
xy |
x2 |
y2 |
|
|
|
Ai,% |
|
|
1,2 |
0,9 |
1,08 |
1,44 |
0,81 |
1,038 |
0,138 |
0,0190 |
15,33 |
|
|
3,1 |
1,2 |
3,72 |
9,61 |
1,44 |
1,357 |
0,157 |
0,0246 |
13,08 |
|
|
5,3 |
1,8 |
9,54 |
28,09 |
3,24 |
1,726 |
-0,074 |
0,0055 |
4,11 |
|
|
7,4 |
2,2 |
16,28 |
54,76 |
4,84 |
2,079 |
-0,121 |
0,0146 |
5,50 |
|
|
9,6 |
2,6 |
24,96 |
92,16 |
6,76 |
2,449 |
-0,151 |
0,0288 |
5,81 |
|
|
11,8 |
2,9 |
34,22 |
139,24 |
8,41 |
2,818 |
-0,082 |
0,0067 |
2,83 |
|
|
14,5 |
3,3 |
47,85 |
210,25 |
10,89 |
3,272 |
-0,028 |
0,0008 |
0,85 |
|
|
18,7 |
3,8 |
71,06 |
349,69 |
14,44 |
3,978 |
0,178 |
0,0317 |
4,68 |
Σ |
71,6 |
18,7 |
208,71 |
885,24 |
50,83 |
18,717 |
0,017 |
0,1257 |
52,19 |
