Задание № 1

В задачах 1-10 ответить письменно на теоретические вопросы.

1. Определение предела функции. Правила раскрытия неопределенностей типа .

2. Определение производной функции. Геометрический смысл производной функции.

3. Определение производной функции. Физический смысл производной функции.

4. Определение дифференциала функции. Определение дифференцирования. Правила дифференцирования.

5. Определение дифференцирования. Формулы дифференцирования.

6. Определение первообразной функции. Теорема о существовании бесконечного множества первообразных. Геометрическое изображение первообразных.

7. Определение неопределенного интеграла. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

8. Определение криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

10. Понятие о дифференциальных уравнениях. Определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального уравнения, решение, общее решение, частное решение, интегральная кривая. Дифференциальное уравнение первого порядка.

Задание № 2

В задачах 21-30 вычислить пределы функции:

21. a) (2x²-3x+4);

б) ;

в) ;

21. a) (3x³+x²+8x+10);

б) ;

в) ;

21. a) (x³-x²+1);

б) ;

в) ;

21. a) (2x²-8x+4);

б) ;

в) ;

21. a) (2x²-4x+5);

б) ;

в) ;

21. a) (-3x²+4x-8);

б) ;

в) ;

21. a) (4x⁴-5x²+4);

б) ;

в) ;

21. a) (4x³-2x-1);

б) ;

в) ;

21. a) (2x²+4x);

б) ;

в) ;

21. a) (x³-x²+1);

б) ;

в) .

Решение типовых примеров

Вычислить пределы:

1) (4x-x²+8).

В этом примере необходимо провести непосредственную подстановку.

(4x-x²+8)=4·3-3²+8=12-9+8=11

2) = .

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности типа . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-2).

Числитель: 2х²+х-10=2(х-2)(х+ )

2х²+х-10=0

D=1-4·2(-10)=1+80=81

x₁=

x₂=

Используемые формулы:

• расположение квадратного трехчлена на множители ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), где х₁, х₂ корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

• D=b²-4ac

x₁= ; x₂=

Знаменатель: 5х-10=5(х-2)

= = =

3) =

В этом примере получается неопределенность вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и в знаменателе дроби старшей степени переменной:

=

Задание № 3

В задачах 31-40 исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции;

2. Найти производную функции;

3. Найти точки экстремума;

4. Определить промежутки монотонности функции;

5. Найти точки перегиба функции;

6. Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;

7. Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;

8. Построить эскиз графика.

31. у=2х³-9х²+12х-5

32. у=х³-6х²+9х+1

33. у=х³-3х²-9х+10

34. у=х³+3х²-9х-10

35. у=х³+6х²+9х+2

36. у=2х³-3х²-12х+5

37. у=2х³+3х²-12х-8

38. у=2х³+9х²+12х+7

39. у=2х³-15х²+36х-32

40. у=2х³-15х²+24х+4