Решение типового примера

у=х³+9х²+15х-9

1. Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R

2. Найдем производную функции

y^´=3x²+18x+15

3. Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.

3x²+18x+15=0, :/3

х²+6х+5=0

D=36-4·5=16; x₁= ; x₂=

Значит функция имеет две критические точки х₁=-1, х₂=-5.

4. Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы

+ – +

–5 –1

т. max т. min

Определим знак производной на каждом интервале:

y^´(0)=3·0²+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+ ) производная функции положительная, значение функции возрастает.

y^´(-2)=3·(-2)²+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5;-1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.

y^´(-6)=3·(-6)²+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (- ;-5) производная функции положительная, значения функции возрастает.

Отсюда следует, что х₁=-5 – точка максимума (max), х₂=-1 – точка минимума (min).

5. Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

y´´=6х+18

6х+18=0

6х=-18

х=-3 – критическая точка.

6. О пределим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Разобьем область определения на интервалы (- ;-3) и (-3;+ )

– +

–3 (т. перегиба)

Определим знак второй производной на каждом интервале:

y´´(0)=6·0+18=18>0;

y´´=6·(-4)+18=-6<0.

На промежутке (-3;+ ) – функция выпуклая; а на промежутке (- ;-3) – функция вогнутая, значит х=-3 – точка перегиба.

7. Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба

y_max=y(-5)=((-5)³+9(-5)²+15(-5)-9)=16

y_min=y(-1)=((-1)³+9(-1)²+15(-1)-9)=-16

y_{перегиба}=y(-3)=((-3)³+9(-3)²+15(-3)-9)=0

8. Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований

у

16

0

-5 -3 -1 х

- 16

Задание № 4

В задачах 41-50 вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

31. а) ;

б) .

Решение типового примера

1. Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

а)

Проверка дифференцированием:

б)

Применим подстановку

Проверка дифференцированием:

Используемые формулы:

Задание № 5

В задачах 51-60 вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

31. y=x², y=49.

32. y=x³, y=8, x=0, x=2.

33. y=x²+1, x= - 2, x= 2.

34. y=x², y=64.

35. y=x²+2, x=-2, x=2.

36. y=x³+1, y=9, x=0, x=2.

37. y=x²+1, y=26.

38. y=x²+3, x=-1, x=2.

39. y=x³+1, y=28, x=0, x=3.

40. y=x²+2, y=27.

Решение типового примера

Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

, x=0, x=3 y

29

2

0 3 x

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий

; ; ;

Площадь фигуры

3

0

Ответ: площадь фигуры составляет

Используемые формулы: Ньютона-Лейбница

Задание № 6

В задачах 61-70 найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка:

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. 

Решение типового примера

Найти частное решение дифференцированного уравнения первого порядка

Это дифференцированное уравнение с разделяющимися переменными. Производим разделение переменных:

Интегрируя обе части равенства, получаем:

Используя начальное условие, вычислим, соответствующее ему значение постоянное С: ; ;

Поэтому частное решение исходного дифференцированного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид: