3. Линейные уравнения.
Линейное
уравнение
- это уравнение вида
.
Это уравнение можно решить следующими
методами:
1. Метод Бернулли.
Суть
метода состоит в разложении искомой
функции на произведение двух других -
,
и "подгонкой" их под нужный вид. В
этом случае линейное уравнение будет
сведено к системе из двух уравнений с
разделяющимися переменными.
.
Теперь нужно получить функцию
так, чтобы выражение
равнялось нулю. Для этого решим
соответствующее уравнение с разделяющимися
переменными
.
Его решением будет
.
Также стоит заметить, что функция
u не зависит от произвольной постоянной.
Теперь функцию
можно найти.
.
Система уравнений, о которой я писал
выше имеет вид:
Решение
исходного уравнения получим просто
перемножив
на
***
2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Метод
состоит в следующем: решим вместо нашего
уравнения его вариант
.
Решение записывается в виде:
.
Положим теперь, что
и подставим решение уравнения с нулевой
правой частью в исходное. Получим
уравнение для C(x):
Откуда
,
решение исходного уравнения
.
Сравните его с полученным по методу
Бернулли.
***
Пример (метод Бернулли):
4. Уравнение Бернулли.
Уравнение
Бернулли
- это уравнение вида
.
1. Сведение к линейному уравнению.
Это уравнение сводится к линейному следующим образом:
Домножим
исходное уравнение на
,
получим
.
Сделаем замену
.
В результате получим уравнение вида
,
которое после домножения на 1-s станет
линейным.
Случай, когда s=1 не рассматриваю, т.к. в этом случае уравнение Бернулли - уравнение с разделяющимися переменными: y'+(p(x)-q(x))y=0.
***
2. Метод Бернулли.
Помимо сведения к линейному уравнению, решить уравнение Бернулли можно методом Бернулли.
В
этом случае получим
и
***
Пример (сведение уравнения Бернулли к уравнению линейному):
5. Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнение
вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
называется уравнением в полных
дифференциалах, если существует такая
функция U(x,y), такая что dU=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Для
того, чтобы такая функция существовала
необходимо и достаточно, чтобы
(Этот факт доказывается в курсе
математического анализа). Поясню, что
это значит:
Если
такая функция U существует, то её полный
дифференциал имеет вид
.
Кроме того,
.
,
.
Поэтому нам нужно соблюдение условия
.
Решением
уравнения в полных дифференциалах будет
следующий интеграл:
Ввиду
того, что dU=0, U=const. По аналогии с
определёнными интегралами:
.
Интеграл
от U берётся по любой кривой, соединяющей
точки
и
.
По этому удобнее взять ломаную ABC, где
AB - отрезок, соединяющий
,
BC - отрезок, соединяющий
.
В этом случае интеграл будет выглядеть
наиболее просто:
***
Пример:
6. Уравнения, неразрешенные относительно производной.
Формально, в этот класс можно отнести все уравнения первого порядка, если перенести все слагаемые из левой (правой) части в правую (левую) и получить уравнение вида F(x,y,y')=0. Но в этот класс я буду относить только уравнения, в которых нельзя производную выделить алгебраически, т.е. записать y'=f(x,y). Например: y=x*cos(y')+y'.
Для решения уравнений этого класса часто используется следующий метод:
Делаем замену y'=p и дифференцируем уравнение по х. Во многих случаях (хотя и далеко не всех)
эти действия позволяют свести решение нашего уравнения к уравнениям вышеописанных классов.
Так, например, можно решить уравнение, которое я дал в качестве примера выше:
p=cos(p)-xp'sin(p)+p', которое является линейным относительно x(p): x'(p-cos(p))=1-x*sin(p).
Естественно, данная замена (y'=p) не единственная. Можно применить и такую: cos(y')=p, но решать получающееся в этом случае уравнение сложнее (но в каком-нибудь другом уравнении именно эта замена может быть лучше).
***
Пример:
Рассмотрим уравнение вида y=x*f(y')+g(y'), которое называется уравнением Лагранжа. Его можно решить методом, который я кратко изложил в I.7). Сделаем замену y'=p и продифференцируем по х:
y'=f(p)+x*p'f'(p)+p'g'(p) <=> p=f(p)+x*p'f'(p)+p'g'(p) <=> p-f(p)=p'(xf'(p)+g'(p))
Последнее является линейным относительно x(p).