1. Однородные линейные уравнения

Нахождение ФСР однородного уравнения начинается с решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид:

т.е. попросту заменяем производные i-ого порядка на .

Решив это уравнение получим корни . Тут возможны следующие варианты:

• Все корни - действительные числа, кратность каждого корня - единица.

• Все корни - действительные числа, но есть корни с кратностью большей, чем 1.

• Среди корней есть комплексные.

***

Первый случай довольно тривиален. Базисные функции будут иметь вид .

Общее решение уравнения

Пример:

***

Второй уже посложнее. Для всех однократных корней соответствующие им базисные функции будут иметь вид, указанный выше. Корень кратности m даст нам m базисных функций вида .

Примеры:

***

Если же есть комплексный корень , то, очевидно, среди корней есть сопряженный к нему . Пара таких корней даст две базисные функции

Если пара имеет кратность m>1, то, аналогично предыдущему случаю, получим m пар базисных функций

Пример:

2. Неоднородные уравнения со специальной правой частью.

Уравнения со специальной правой частью - это неоднородные линейные уравнения, в которых функция f(t) имеет вид:

где - полиномы степеней n и m соответственно.

Возможны следующие варианты:

• - не являются корнями характеристического уравнения.

• - пара характеристических корней кратности p;

В первом случае частное решение будет иметь вид: , где - некоторые полиномы степеней n и m соответственно. Коэффициенты полиномов при степенях t еще требуется определить. Сделать это можно так: надо подставить наше частное решение в уравнение и привести подобные. Затем получившиеся коэффициенты приравнять к нулю.

Примеры:

***

Второй случай приводит к несколько другому частному решению:

, т.е. надо еще умножить на t^p, p - кратность корня. Почему так получается, можете посмотреть в книгах Краснова, Камке и др.

Поиск коэффициентов полиномов производится также, как и в первом случае.