3. Відношення еквівалентності

О. Відношення на множині називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Виконаємо таке завдання: побудуємо графи заданих відношень.

1) граф відношення «бути паралельним», при умові, що а || b || с, k || d || e, f || h.

Які властивості має дане відношення?

Властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

2) граф відношення «бути рівними» на множині відрізків, якщо a = b = c, d = e, відрізок h не дорівнює жодному з даних відрізків.

Це відношення також має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

3) На множині встановлено відношення «бути рівним». Побудуємо граф даного відношення.

Всі ці відношення мають властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

Приклади відношень еквівалентності: відношення рівності на довільній множині; відношення паралельності прямих на площині; відношення подібності на множині усіх трикутників; відношення рівносильності на множині рівнянь; відношення «навчатися в одній групі» на множині студентів училища.

Дане відношення розбило задані множини на підмножини:

1) { a, b, c }, { d, e}, { f, h} – підмножини паралельних між собою прямих;

2) { a, b, c }, { e, d }, { h }; - підмножини рівних між собою відрізків;

3) підмножини рівних між собою дробів.

Ці множини не перетинаються, а їх об'єднання співпадає з множиною X.

Отже, якщо на множині задано відношення еквівалентності, то воно розбиває цю множину на попарно паралельні підмножини (класи еквівалентності).

І навпаки: якщо дане відношення, задане на множині , визначило розбиття цієї множини на класи, то це відношення є відношенням еквівалентності.

Отже, за допомогою відношення еквівалентності виконується досить поширена операція – розбиття непорожньої множини на підмножини, які називають класами.

Граф відношення еквівалентності є об’єднанням кількох повних графів. Навпаки, якщо граф деякого відношення на множині розпадається на кілька повних графів, то воно є відношенням еквівалентності.

Всі елементи одного класу еквівалентності мають однакові властивості, що дає можливість вивчати властивості одного елемента і поширювати їх на всі елементи класу.

3. Відношення порядку

Одним із досить важливих понять науки і практики є поняття порядку, яке є узагальненням таких понять, як «старшинство», «підпорядкованість», «наслідування», «наступність», «важливість», «менше», «більше», «не перевищує» тощо.

Як слово "порядок" використовується в повсякденному житті?

Приклад: До дошки викликаю 5 студентів різного росту і даю завдання стати так, щоб на даній множині студентів встановити відношення порядку: "бути вищим".

Які властивості має дане відношення?

О. Відношення на множині , називається відношенням порядку, якщо воно транзитивне і антисиметричне.

Виділяють певні види відношень порядку. Відношення порядку на множині називається:

1. відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне;

2. відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне;

3. відношенням часткового порядку, якщо воно незв’язне;

4. відношенням лінійного порядку, якщо воно зв’язне.

5. Множина із заданим на ній відношенням порядку називається впорядкованою множиною.

Множина із заданим на ній відношенням порядку називається впорядкованою множиною. Залежно від видів відношення порядку розрізняють і види впорядкованих множин.

Одна і та сама множина може бути по різному впорядкована. Наприклад, множину натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою таких відношень:

1. відношення « ділиться на » є відношенням нестрогого часткового порядку;

2. відношення « менше » ‘є відношенням строгого порядку;

3. відношення « менше або дорівнює » ‘є відношенням нестрогого лінійного порядку.

Якщо множина Х впорядкована відношенням , то

1. кажуть, що елемент лежить між елементами і , якщо ці три елементи різні і та , записують ;

2. елементи і називаються сусідніми, якщо вони різні, і не існує елемента, який лежить між ними, при цьому елемент називається попереднім до , а елемент – наступним за .

Наприклад, на множині натуральних чисел, впорядкованій відношенням «менше», число 2 лежить між числами 1 і 3, числа 1 і 2 будуть сусідніми, причому 1 є попереднім до 2, а число 2 буде наступним за 1.

Геометрично відношення порядку між елементами скінченних множин, як і будь-яке відношення, можна зобразити за допомогою графа.