Составление плана экспериментов

В полном факторном эксперименте (ПФЭ) реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Общее число опытов равно N=2ⁿ, где n – число факторов. В рассматриваемом случае n=2, N=2²=4.

В табл.1 приведены условия эксперимента в виде матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – кодированным значениям факторов.

Таблица 1.

Таблица планирования для двух факторов 2².

№ опытов
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	+1

Примечание: номера опытов соответствуют номерам точек факторного пространства (рис. 1).

Проведение эксперимента и обработка результатов

При проведении экспериментов реализуются фактические значения факторов, соответствующие кодированным значениям. В табл.2 приведены результаты численного эксперимента, выполненного в соответствии с принятым планом. Каждый опыт производился три раза (с проведением M=3 параллельных опытов). В графе приведены полученные значения функции отклика ( среднее значение; дисперсия).

Таблица 2.

Результаты численного эксперимента

№ опытов
1	8,5	13,4	26,087; 26,347; 26,081 y1= 26,172; 0,023
2	9,5	13,4	26,819; 26,938; 27,074; y2= 26,944; 0,016
3	8,5	14,6	27,137; 27,383; 26,977; y3=27,166; 0,042
4	9,5	14,6	27,662; 27,517; 27,853; y4=27,677; 0,028

Производим проверку воспроизводимости численных экспериментов (однородности дисперсий, полученных при проведении параллельных опытов по критерию Кохрена):

=0,042/0,109=0,382.

Табличное (критическое) значение критерия при уровне значимости α=0,05 и k=N=4 =0,865. Расчетное значение критерия существенно меньше критического, следовательно, рассматриваемые дисперсии однородны и численные эксперименты отвечают требованиям воспроизводимости.

Дисперсия значений функции отклика при одинаковом количестве параллельных опытов равна среднему значению

.

При расчете коэффициентов полинома используются средние значения функции отклика в каждом опыте.

В частности, для модели

Значение коэффициента для каждого фактора соответствует вкладу данного фактора в параметр оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний. Вклад, определенный при переходе от нижнего уровня к верхнему, называется эффектом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. В рассматриваемом случае

Проводим анализ адекватности выбранной модели (вида полинома) опытным данным по критерию Фишера F. Оценки дисперсий в формуле расчета критерия расставляются так, чтобы его величина была больше единицы

Оценку дисперсии адекватности в случае дублирования опытов производим по формуле

где - расчетное значение y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений x_j; m – количество коэффициентов в уравнении регрессии без учета свободного члена, m=n; n - количество факторов; - число степеней свободы; M – количество параллельных опытов.

В рассматриваемом случае , М =3. Расчет приведен в табл. 3.

Так как , то

Таблица 3.

Расчет

№ опыта	x1	x2
1	-1	-1	26,237	26,172	0,0042
2	+1	-1	26,878	26,944	0,0042
3	-1	+1	27,101	27,166	0,0042
4	+1	+1	27,742	27,677	0,0042
Сумма	-	-	-	-	0,0170

Табличное значение F_Т при числе степеней свободы, при которых определялась дисперсия воспроизводимости

(для ), и числе степеней свободы, при которых определялась дисперсия адекватности (для ) и уровне значимости 0,05 равно 239. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна.

Линейная модель не может быть адекватной, если оказался значимым хотя бы один эффект взаимодействия. Проверяем статистическую значимость коэффициентов полинома. Доверительный интервал для j- того коэффициента определяется по формуле

Здесь t=2,306 – квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.

Доверительные интервалы

Как следует из полученных выражений, коэффициенты b₀, b₁ и b₂ являются статистически значимыми, а коэффициент взаимодействия b₁₂ может быть равен нулю (его доверительные интервалы содержат ноль) и, следовательно, является статистически незначимым.

То, что коэффициент взаимодействия b₁₂ статистически незначим, подтверждает адекватность линейной модели. Решение однозначно – переходим к движению по градиенту.