Уточнение максимального значения функции отклика
Для подтверждения того, что найденная точка является действительно максимумом функции отклика, необходимо исследовать подобласть факторного пространства, прилегающего к этой точке.
Рассмотрим указанную подобласть факторного пространства. Интервалы варьирования факторов возьмем такими же, как при крутом восхождении. При этом координаты нулевой точки по х1 (14-0,5)=13,5, а по х2 (20-0,6)=19,4. На рис.2 приведена рассматриваемая подобласть факторного пространства.
Координаты точки 1 х1, х2 (кодированные значения -1, -1, фактические 13; 18,8); точки 2 х1, х2 (кодированные значения +1, -1, фактические 14; 18,8); точки 3 х1, х2 (кодированные значения -1, +1, фактические 13; 20); точки 4 х1, х2 (кодированные значения +1, +1, фактические 14; 20).
Рис.2. Подобласть факторного пространства, лежащая в окрестности точки максимума функции отклика
Определим математическую модель, аппроксимирующую подобласть. В качестве модели возьмем линейный полином вида
В табл.1 приведены условия эксперимента в виде матрицы планирования, используемой для решения поставленной задачи.
В табл.5 приведены результаты численного эксперимента, выполненного в соответствии с принятым планом. Каждый опыт производился три раза (с проведением M=3 параллельных опытов). В графе приведены полученные значения функции отклика ( среднее значение; дисперсия).
Таблица 5.
Результаты численного эксперимента
-
№ опытов
1
13
18,8
33,319; 33,217; 33,177
y1=33,238; 0,005
2
14
18,8
33,621; 33,834; 33,731;
y2=33,729; 0,011
3
13
20
33,934; 33,986; 3,885;
y3=33,935; 0,003
4
14
20
34,522; 34,836; 34,621;
y4=34,660; 0,026
Производим проверку воспроизводимости численных экспериментов (однородности дисперсий, полученных при проведении параллельных опытов по критерию Кохрена):
=0,026/0,045 =0,574.
Табличное (критическое) значение критерия при уровне значимости α=0,05 и k=N=4 =0,865. Расчетное значение критерия существенно меньше критического, следовательно, рассматриваемые дисперсии однородны и численные эксперименты отвечают требованиям воспроизводимости.
Дисперсия значений функции отклика при одинаковом количестве параллельных опытов равна среднему значению
.
Рассчитываем коэффициенты полинома
Уравнение регрессии имеет вид
Проводим анализ адекватности выбранной модели опытным данным по критерию Фишера F.
В рассматриваемом случае , М =3 . Расчет приведен в табл.6.
Так как
,
то
Таблица 6.
Расчет
№ опыта |
x1 |
x2 |
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
33,179 |
33,238 |
0,0034 |
2 |
+1 |
-1 |
33,787 |
33,729 |
0,0034 |
3 |
-1 |
+1 |
33,994 |
33,935 |
0,0034 |
4 |
+1 |
+1 |
34,601 |
34,660 |
0,0034 |
Сумма |
- |
- |
- |
- |
0,0136 |
Табличное значение FТ при числе степеней свободы, при которых определялась дисперсия воспроизводимости
(для ), и числе степеней свободы, при которых определялась дисперсия адекватности (для ) и уровне значимости 0,05 равно 239. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна.
Проверяем статистическую значимость коэффициентов полинома. Доверительный интервал для j- того коэффициента определяется по формуле
Здесь t=2,306 – квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.
Доверительные интервалы
Как следует из полученных выражений, все линейные коэффициенты b0, b1 и b2 являются статистически значимыми, а коэффициент взаимодействия b12, статистически незначим.
Полученный результат говорит о том, что поверхность функции отклика плоская. Для того, чтобы дополнительно убедится в этом, используем уравнение регрессии для расчета значения функции в нулевой точке подобласти.
Расчетное значение в нулевой точке подобласти
Фактическое среднее по результатам трех опытов при х1=13,5 и х2=19,4 равно 33,952. Разница между расчетным и фактическим результатом составила 0,181%. Полученные значения (расчетное и фактическое) меньше значения функции в точке 4.
Таким образом, по полученным результатам максимум функции находится в верхнем правом углу рассматриваемого факторного пространства.
Нахождение интерполяционной функции (уравнения регрессии)
При нахождении интерполяционной функции рассматривается вся область факторного пространства. По условиям задачи фактор Х1 может изменяться в пределах от 4 до 14, а фактор Х2 – в пределах от 8 до20.
Рассмотрим возможность использования для аппроксимации функции отклика полинома первой степени .
Используем полный факторный эксперимент типа 22. В табл. 1 приведены условия проведения экспериментов в виде матрицы планирования, а в табл. 7 значения факторов.
Из предыдущего исследования следует, что процесс обладает воспроизводимостью. Поэтому можно, для сокращения числа опытов, отказаться от их дублирования и проверки воспроизводимости. Для определения дисперсии Y и величины ошибки (среднеквадратического отклонения) проведем серию численных опытов при значениях факторов, соответствующих основному уровню.
Таблица 7.
Значения факторов
-
Факторы
Основной уровень
9
14
Интервал варьирования
5
6
Верхний уровень
14
20
Нижний уровень
4
8
В табл.8 приведены результаты численных экспериментов выполненных по условиям табл. 1. при проведении 3-х параллельных опытов.
Таблица 8.
Результаты численного эксперимента
№ опытов |
|
|
|
1 |
4 |
8 |
19,162; 18,826; 19,262 y1=19,083; 0,052 |
2 |
14 |
8 |
24,309; 24,438; 24,498; y2=24,415; 0,009 |
3 |
4 |
20 |
29,352; 29,117; 29,371; y3=29,280; 0,020 |
4 |
14 |
20 |
34,503; 3,722; 34,834; y4=34,686; 0,028 |
Производим проверку воспроизводимости численных экспериментов (однородности дисперсий, полученных при проведении параллельных опытов по критерию Кохрена):
=0,052/0,110=0,474.
Табличное (критическое) значение критерия при уровне значимости α=0,05 и k=N=4 =0,865. Расчетное значение критерия существенно меньше критического, следовательно, рассматриваемые дисперсии однородны и численные эксперименты отвечают требованиям воспроизводимости.
Дисперсия значений функции отклика при одинаковом количестве параллельных опытов равна среднему значению
.
Рассчитываем коэффициенты полинома
Уравнение регрессии имеет вид
Проводим анализ адекватности выбранной модели опытным данным по критерию Фишера F.
В рассматриваемом случае , М =3 . Расчет приведен в табл.9.
Так как
,
то
Таблица 9.
Расчет
№ опыта |
x1 |
x2 |
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
19,065 |
19,083 |
0,0004 |
2 |
+1 |
-1 |
24,434 |
24,415 |
0,0004 |
3 |
-1 |
+1 |
29,298 |
29,280 |
0,0004 |
4 |
+1 |
+1 |
34,668 |
34,686 |
0,0004 |
Сумма |
- |
- |
- |
- |
0,0016 |
Табличное значение FТ при числе степеней свободы, при которых определялась дисперсия воспроизводимости
(для ), и числе степеней свободы, при которых определялась дисперсия адекватности (для ) и уровне значимости 0,05 равно 239. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна.
Проверяем статистическую значимость коэффициентов полинома. Доверительный интервал для j- того коэффициента определяется по формуле
Здесь t=2,306– квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.
Доверительные интервалы
Как следует из полученных выражений, все линейные коэффициенты b0, b1 и b2 являются статистически значимыми, а коэффициент взаимодействия b12, статистически незначим.
Полученный результат говорит о том, что поверхность функции отклика плоская. Для проверки этого предположения, используем уравнение регрессии для расчета значения функции в нулевой точке области факторного пространства. Если полученное расчетное значение будет близко к реальному, полученному в результате численного моделирования, то действительно поверхность плоская.
Расчетное значение в нулевой точке подобласти
Фактическое среднее по результатам трех опытов при х1=9 и х2=14 равно 26,923. Разница между расчетным и фактическим результатом составляет 0,213%.
Уравнение регрессии справедливо для кодированных значений факторов. Для перехода к фактическим значениям нужно воспользоваться формулами перевода. В частности
где
- интервал варьирования.
В приведенных выше выражениях, Хi –истинное значение фактора; xi – его кодированное значение.
Уравнение регрессии в действительных переменных имеет вид
Таким образом, полученное уравнение регрессии адекватно аппроксимирует функцию отклика в области заданного факторного пространства и может быть использована для решения различных задач.
Анализ приведенного графика показывает, что поверхность отклика плоская и не имеет экстремальных точек внутри области факторного пространства – максимум этой функции в области факторного пространства действительно находится (как определено ранее) на границе области и соответствует точке с координатами Х1=14 и Х2=20.
Таким образом, решены обе поставленные задачи – найдены максимум функции отклика в пределах заданного факторного пространства и выражение, аппроксимирующее исследуемый процесс.