Методические указания к практическому занятию №12

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости.

Цель: Решать задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

Оснащение: модели многогранника, инструкция по ТБ №48.

Литература: Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008

Справочный материал

1. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между направлениями, задаваемыми этими прямыми, равен 90^о. Прямая и плоскость называются взаимно перпендикулярными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, принадлежащей плоскости.

Если плоскость α перпендикулярна прямой а, то пишут а  α или α  а.

Прямую перпендикулярную плоскости, называют перпендикуляром к этой плоскости. Через каждую точку пространства можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости α, то прямая а и плоскость α взаимно перпендикулярны.

3. Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости.

1) Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны.

2) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости.

3) Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

4) Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть точка А₁ не принадлежит плоскости α. Через точку А₁ проведем перпендикуляр к плоскости. Точку пересечения перпендикуляра с плоскостью обозначим буквой А (рис. 1). Точка А есть основание перпендикуляра, о длина отрезка АА₁ – расстояние от точки А₁ до плоскости.

Расстояние от точки А₁ до плоскости α меньше расстояния от точки А₁ до любой точки плоскости α, отличной от самой точки А.

А₁

А

α

Рисунок 1.

Упражнения:

1.Расстоянием от точки до плоскости называется: а) длина отрезка, соединяющего эту точку с точкой плоскости; б) длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

2.Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Прямые АD и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и С соответственно. Вычислите длину отрезка АВ, если АD = 12 см, ВС = 4см, ОС = 3 см.

3. Прямая ОВ перпендикулярна плоскости квадрата АВСD. Вычислите площадь треугольника ОАD, если ОВ = 8 см, АВ = 6 см.

4.Из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр АВ и наклонные АС и АD, проекции которых образуют между собой прямой угол. Вычислите длину высоты СК треугольника АСD, если АВ =15 см, ВС =16 см, ВD = 20 см.

5. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС (АВС =90⁰) лежит в плоскости α. Точка О – основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости α. Двугранный угол АВСО = 45⁰. Вычислите градусную меру угла между прямой АС и плоскостью α, если ВС = 2 см, АО = √2 см.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1.Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она: а) перпендикулярна одной прямой, лежащей в плоскости; б) перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости.

2. Отрезок АВ не имеет общих точек с плоскостью α. Через точки А и В проведены прямые. Перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее точках А₁ и В₁. Вычислите длину отрезка А₁В₁, если АВ = 13см, АА₁ = 12 см и ВВ₁ = 24 см.

3. Отрезок ОВ перпендикулярен плоскости прямоугольника АВСD. Угол между прямой ОD и плоскостью прямоугольника равен 30⁰. Найдите длину отрезка ОВ, если стороны прямоугольника АВ = 3 см, ВС = 4 см.

4.Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АВ и АС, угол между которыми равен 60⁰. Проекции этих наклонных имеют соответственно длины ОВ = 4 см и ОС = 5 см. Найдите длину отрезка ВС, если длина перпендикуляра АО = 3 см.

5. Вычислите двугранный угол, образованный двумя боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды. Длина бокового ребра которой равна 3 см, а стороны основания - 2√3 см.

Вариант 2

1.Угол между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью называется угол: а) между этой прямой и прямой на плоскости, проведенной через точку пересечения; б) между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на данную плоскость.

2. Отрезок АВ не имеет общих точек с плоскостью α. Через точки А и В проведены прямые. Перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее точках А₁ и В₁. Вычислите длину отрезка А₁В₁, если АВ = 5см, АА₁ = 4 см и ВВ₁ = 8см.

3. Отрезок ОВ перпендикулярен плоскости прямоугольника АВСD. Угол между прямой ОD и плоскостью прямоугольника равен 45⁰. Найдите длину отрезка ОВ, если стороны прямоугольника АВ = 6 см, ВС = 8 см.

4.Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АВ и АС, угол между которыми равен 30⁰. Проекции этих наклонных имеют соответственно длины ОВ = 8 см и ОС = 4 см. Найдите длину отрезка ВС, если длина перпендикуляра АО = 3 см.

5. Вычислите двугранный угол, образованный двумя боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды. Длина бокового ребра которой равна 6 см, а стороны основания - 5√3 см.

Контрольные вопросы:

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Сформулируйте определение и признак перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

3. Можно ли утверждать, что прямая пересекающая круг в его центре, перпендикулярна: а) диаметру; б) двум диаметрам; в) плоскости круга?

4. Справедливо ли утверждать, что прямая, перпендикулярная кругу в его центре, перпендикулярна: а) радиусу; б) двум радиусам; в) плоскости круга?

Задание на дом

[3] с. 109-115, №335; 338