Методические указания к практическому занятию №7

Тема: Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим

Цель: решать однородные тригонометрические уравнения, уметь приводить однородные тригонометрические уравнения к простейшим.

Оснащение: таблица значений тригонометрических функций, модель «Тригонометрический круг», ТБ инструкция №48.

Литература: Алгебра. 10 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008

Справочный материал

1. Справедливы соотношения:

tg α · ctg α = 1; tg α = ; ctg = ;

1 + tg²α = ; 1 + ctg²α =

2. Уравнение вида а · tg x + в ctg x + c = 0 приводится к квадратному уравнению одной тригонометрической функции путем замены ctg x = .

3. Уравнение вида а sin x + в cos x = 0 (а ≠ 0; в ≠ 0) – называется однородным первой степени относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих его частей на cos x ≠ 0. В результате получается уравнение вида а tg х + в = 0.

4. Уравнение вида а sin²x + в sin x cos x + к cos²x = 0 называется однородным уравнением второй степени относительно sin x и cos x, если все три коэффициента а, в, к или какие-либо два из них отличны от нуля.

Считая, что а ≠ 0, разделим обе части уравнения на cos²х ≠ 0, тогда получим: а tg²x + в tg x + к = 0

Упражнения

Решить уравнения

1) 2sin²x – 5sin x cos x + 3cos²x = 0

2) 22cos²x + 8sin x cos x = 7;

3) 2sin x cos x – 2cos²x = 0;

4) 4sin²x + cos²x = 5sin x cos x

5) cos²x + 3sin²x + 2 sin x cos x = 3

6) 2sin²x + 3cos x – 3 = 0;

7) 2sin²x + 3cos²x – 2 = 0;

8) cos 6x + cos 2x = 0;

9) sin²x – sin 2x = 0.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1) 3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

2) 4sin²x – sin2x = 3

3) 1 – 4cos²x = 2sin x cos x

4) cos5x – cos3x = 0

5) sin2x · cos4x = sin7x · cos9x

Вариант 2

1) 2cos²x – 3sin x cos x + sin²x = 0

2) sin2x + 4cos²x = 1

3) 3sin²x + sin x cos x = 2

4) sin5x – sin x = 0

5) cos7x · cos10x = cos2x · cos15x

Контрольные вопросы

1. Дать определение однородного тригонометрического уравнения первой степени.

2. Какой вид имеет однородное тригонометрическое уравнение второй степени?

3. Каков метод решения однородных уравнений?

Задание на дом

[1] с. 225-229, №3.121; 3.123

Методические указания к практическому занятию №8

Тема: Решение задач на применение аксиом стереометрии и следствий из них

Цель: Решать задачи на доказательство, применяя аксиомы стереометрии и их следствия.

Оснащение: модели многогранников, ТБ инструкция №48.

Литература: Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008

Справочный материал

Аксиомы стереометрии:

С1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

С2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

С3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Пример. Плоскости α и β пересекаются по прямой а, а прямая b, лежащая в плоскости α, пересекается с плоскостью β.

Докажите, что прямые а и b пересекаются.

Доказательство:

Пусть прямая b и плоскость β пересекаются в точке (см. рис.). Так как прямая b лежит в плоскости α, то каждая ее точка, а следовательно, и точка х лежит в этой плоскости. Значит, точка х – общая точка плоскостей α и β. Плоскости α и β пересекаются по прямой а, поэтому на этой прямой лежат все общие точки плоскостей α и β (аксиома С3), а значит, и точка х лежит на прямой а. Следовательно, точка х лежит и на прямой а, и на прямой b, т.е. а и b пересекаются в точке х.

Упражнения:

1.По определению основанием правильной четырехугольной пирамиды является: а) параллелограмм; б) ромб; в) квадрат; г) прямоугольник.

2.Точки М и N равноудалены от каждой вершины прямоугольника АВСD. Лежат ли точки М, N, А и С в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

3.Радиус окружности, вписанной в одну из граней куба, равен 1см. Вычислите площадь поверхности куба.

4. АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб. Длина пространственной ломаной А₁D₁DСВ₁А₁

равна 4см. Вычислите площадь поверхности куба.

5.Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁, ребро которого равно 30см. Постройте сечение куба плоскостью а, проходящей через ребро АА₁ и середину ребра ВС. Найдите периметр сечения.

Самостоятельная работа

Вариант I

1.Многогранник, имеющий всего 6 граней, которые являются равными квадратами – это..

а) параллелепипед; б) куб; в) призма; г) пирамида.

2.Даны две пересекающиеся прямые. Всякая ли третья прямая, имеющая с каждой из данных прямых одну общую точку, лежит с ними в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

3.Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ с ребром 5см. Найдите диагональ куба АС₁.

4.Дана прямая призма, в основании которой лежит квадрат со стороной 3см. Найдите длину ломаной АDD₁В₁ А, если ребро призмы равно 4см.

5.Площадь поверхности правильного тетраэдра равна S. Найдите длину ребра тетраэдра.

Вариант II

1.Многогранник, имеющий всего 6 граней, которые являются равными параллелограммами – это..

а) параллелепипед; б) куб; в) призма; г) пирамида.

2.Прямые а,b,с попарно пересекаются и не имеют общей точки. Верно ли, что они лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

3.Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ с ребром 3см. Найдите диагональ куба DВ₁.

4. Дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник со стороной 3см и 4см. Найдите длину ломаной АСС₁В₁ А, если ребро призмы равно 5см.

5.Ребро правильного тетраэдра равна l. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра.

Контрольные вопросы:

1. Сформируйте аксиомы стереометрии.

2. Сформулируйте из аксиом стереометрии.

3. Всегда ли через три точки проходит единственная плоскость?

4. Окружность имеет с плоскостью две общие точки. Верно ли, что все точки окружности принадлежат этой плоскости?

5. Окружность описана около треугольника АВС. Верно ли, что все точки окружности принадлежат плоскости АВС?

Задание на дом

[3] с. 21-26, 34-36, №65; 129