2. Виды мкэ

По способу получения основных, т. е. разрешающих, уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса. 

Прямой метод  аналогичен матричному методу перемещений для стержневых систем, в основе его лежат положения, которые использовались на ранней стадии развития МКЭ.  Этот метод удобен своей простотой и очевидным геометрическо-физическим значением отдельных шагов аппроксимации. Соотношения для КЭ здесь строятся непосредственно на основе трех групп уравнений (трех сторон задачи): статической, геометрической и физической. Однако область применения прямого метода весьма ограничена: его можно использовать лишь для конечных элементов простой геометрии с малым числом степеней свободы в узле.

Вариационный метод основан на принципах стационарности некоторой переменной, зависящей от одной или нескольких функций (такая переменная носит название  функционала). Применительно к механике деформируемого твердого тела эта переменная представляет собой потенциальную (функционал Лагранжа) или дополнительную (функционал Кастилиано) энергию системы или формируется на основе этих двух энергий (функционалы Хеллингера-Рейсснера, Ху-Вашицу).  Если в функционал подставить аппроксимирующие выражения искомых функций и применить к нему экстремальные принципы (соответственно принцип Лагранжа, принцип Кастилиано и т. д.), получим систему алгебраических уравнений, решением которой будут значения узловых неизвестных.  В отличие от прямого вариационный метод может одинаково   успешно применяться как к простым, так и сложным задачам.

Метод невязок  представляет собой наиболее общий подход к построению основных соотношений МКЭ.  Этот метод целесообразно применять при решении задач, у которых трудно или невозможно сформулировать вариационное уравнение, т.е. функционал. Суть метода взвешенных невязок заключается во введении некоторой  невязки – отклонении приближенного аппроксимативного решения от точного решения дифференциальных уравнений для данной задачи.  Чтобы получить ”наилучшее” решение, необходимо минимизировать некоторый интеграл от невязок по расчетной области.  Для повышения эффективности в подынтегральное выражение наряду с самой невязкой обычно вводится так называемая  весовая функция, в этом случае метод называется  методом взвешенных невязок.  Выбор схемы минимизации и весовых функций определяет различные варианты метода невязок.  Наиболее часто применяемые из них – это  метод Галеркина, который приводит к тем же уравнениям, что и вариационный подход,  а также  метод наименьших квадратов.

Метод энергетического баланса (метод Одена) основан на балансе различных видов энергии, записанном в интегральной форме.  Этот метод успешно применяется при решении нелинейных и динамических задач. 

Из приведенных видов МКЭ в строительной механике особенно актуальны вариационный метод и метод взвешенных невязок Галеркина, которые для рассматриваемой задачи представляют собой два взаимно дополняющих метода одинаковой точности.  Широкое применение этих методов обусловлено тем, что выражения в функционале или во взвешенном интеграле, как правило, имеют низший порядок производных по сравнению с производными в соответствующем дифференциальном уравнении для данной задачи.  Это позволяет выбирать аппроксимирующие функции из более широкого семейства простых функций.  Можно сказать, что вариационный вид МКЭ вышел из классического метода Ритца, а метод Галеркина – из обобщенного метода Бубнова-Галеркина. В принципе, из других методов также выводятся соответствующие виды МКЭ, однако их применяют значительно реже.