3.1. Аппроксимация

МКЭ относится к методам дискретного анализа.  Однако в отличие от численных методов, основывающихся на математической дискретизации дифференциальных уравнений, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемого объекта.  Реальная конструкция как сплошная среда с бесконечно многим числом степеней свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой элементов с конечным числом степеней свободы.  Так как число возможных дискретных моделей для континуальной области неограниченно велико, то основная задача заключается в том, чтобы выбрать такую модель, которая лучше всего аппроксимирует данную область.   

Сущность аппроксимации сплошной среды по МКЭ состоит в следующем:

1) рассматриваемая область разбивается на определенное число КЭ,  семейство элементов по всей области называется  системой  или  сеткой конечных элементов;      

2) предполагается, что КЭ соединяются между собой в конечном числе точек – узлов, расположенных по контуру каждого из элементов;    

3) искомые функции в пределах каждого КЭ (например, распределение перемещений, деформаций, напряжений и т. д.) с помощью  аппроксимирующих функций  выражаются через узловые значения, представляющие собой основные неизвестные МКЭ;   

4) для анализа и расчета полученной системы конечных элементов действительны все принципы и методы, применяемые для любых дискретных систем. 

 

3.2. Аппроксимирующие функции

Аппроксимация, как правило, дает приближенное, а не точное, описание действительного распределения искомых величин в элементе.  Поэтому результаты расчета конструкции в общем случае также являются приближенными. Закономерно может быть поставлен вопрос о точности, устойчивости и сходимости решений, полученных МКЭ. 

Под  точностью  понимается отклонение приближенного решения от  точного  или  истинного решения.  Устойчивость, прежде всего, определяется ростом  ошибок  при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое решение является результатом неудачного выбора аппроксимирующих функций, «плохой» разбивки области на КЭ, некорректного представления граничных условий и т. п.  Под  сходимостью  подразумевается постепенное приближение последовательных решений к  предельному,  по мере того как уточняются параметры дискретной модели, такие как размеры элементов, степень аппроксимирующих функций и т. п.  В этом смысле понятие сходимости аналогично тому значению, которое оно имеет в обычных итерационных процессах. Таким образом, в сходящейся процедуре различие между последующими решениями уменьшается, стремясь в пределе к нулю. 

Перечисленные выше понятия иллюстрируются рис. 9.4. Здесь абсцисса обозначает степень уточнения параметров дискретной модели, а ордината определяет полученное при этом уточнении приближенное решение.  На графике показан монотонный тип сходимости, при котором точность решения повышается плавно.   

3.3. Ошибки метода конечных элементов

Как следует их вышеизложенного, критерии устойчивости, сходимости и точности в основном определяются погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ. Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов:

– ошибки дискретизации, являющиеся результатом различий между действительной геометрией рассчитываемой области и ее аппроксимацией системой конечных элементов;

– ошибки аппроксимации, обусловленные разностью между действительным распределением искомых функций в пределах КЭ и их представлением с помощью аппроксимирующих функций.  

Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю.  Эти ошибки уменьшаются    и с применением криволинейных элементов на соответствующих границах    области. Ошибки аппроксимации не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размеров элементов или повышения степени аппроксимации, поэтому могут ухудшать сходимость к точному решению или даже приводить  к расходимости.  Однако эти ошибки можно свести к минимуму,   если при построении аппроксимирующих функций обеспечить:  

1) непрерывность искомой функции и ее производных в области КЭ до степени  m–1 включительно (m – наибольший порядок производных искомой функции, используемых в качестве основных неизвестных в эрмитовых элементах);

2) выполнение условий полноты, т. е. при уменьшении размеров КЭ аппроксимирующие функции должны обеспечить стремление значений искомой функции, а также ее производных к постоянным значениям;

3) выполнение условий совместности искомой функции и частично ее производных на границе между смежными элементами;

4) приближенное удовлетворение условий совместности не основных переменных (например, напряжений, если основные неизвестные – перемещения) на границах КЭ, а также граничных условий в рассматриваемой области;  

5) исключение концентрации напряжений в КЭ, если в рассматриваемой области такие концентрации заведомо отсутствуют; 

6) при перемещениях КЭ как жесткого целого в нем не должны возникать     деформации. 

Требование полноты аппроксимирующих функций необходимо для учета смещения КЭ как жесткого целого и обеспечения состояния постоянных деформаций в элементе. Механический смысл совместности заключается в непрерывности основных неизвестных на смежных границах соседних КЭ. В сложных эрмитовых элементах выполнение условий совместности достигается сложнее.  Между тем имеются случаи, когда несовместные элементы дают очень хорошие результаты при быстрой сходимости решения к точному.