1.2.1. Поняття стаціонарності випадкового процесу

Аналізуючи випадкові процеси, часто застосовують поняття стаціонарності, яке відображає незмінність за часом, стабільність деяких характеристик випадкового процесу. Прикладами стаціонарних випадкових процесів є шуми підсилювальних елементів електронних приладів, шуми фотоприймачів у апаратурі відтворення звуку кінофільмів, коливання швидкості двигуна в електроприводі.

Розрізняють стаціонарність у вузькому сенсі та стаціонарність у широкому сенсі.

Випадковий процес називають стаціонарним у вузькому сенсі (строго стаціонарним [   ]), якщо його n-вимірна щільність імовірності за будь-якого n залежить тільки від інтервалів t₁ – t₂ і не залежить від розташування цих інтервалів на осі часу, тобто p_n(x₁,t₁; x₂,t₂; ...; x_n,t_n) = p_n(x₁, t₁ + τ; x₂, t₂ + τ; ...; x_n,t_n + τ).

Ймовірнісні характеристики стаціонарного у вузькому сенсі випадкового процесу не змінюються у разі зміни розташування відлікової точки на часовій осі.

Стаціонарним у широкому сенсі називають процес, математичне очікування якого не залежить від часу, а кореляційна функція залежить тільки від різниці t₂ – t₁ = τ і не залежить від самих інтервалів t₁ та t₂.

Із визначення виходить, що одновимірна щільність імовірності стаціонарного процесу не залежить від часу

,

а двовимірна – залежить тільки від різниці t₂ – t₁ = τ, тобто p₂(x₁,t₁; x₂,t₂) = p₂(x₁,x₂,t₂ – t₁) = p₂(x₁,x₂,t₂). Для такого процесу:

,		(1.17)
.	(1.18)

Вирази, подібні до (1.6)–(1.9), для стаціонарних у широкому сенсі процесів записують без позначення фіксованих моментів часу.

Процеси, стаціонарні у вузькому сенсі, стаціонарні в широкому сенсі, але не навпаки.

Про характер і властивості стаціонарного процесу можна судити за характером кореляційної функції. У зв’язку з цим доцільно розглянути властивості кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. Дослідимо поведінку кореляційної функції у випадку змінення інтервалу між значеннями стаціонарного випадкового процесу, розглянемо граничні співвідношення

.

Якщо τ → ∞, значення x₁ = x(t) та x₂ = x(t+τ) стають незалежними, p₂(x₁,x₂,τ) = p₁(x)·p₁(x). У зв’язку з цим

.

(1.19)

Граничне значення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу, якщо τ → ∞, дорівнює квадрату його середнього значення, тобто потужності постійної складової випадкового процесу

.

Якщо τ → 0, зв’язок між двома значеннями x(t) та x(t + τ) підсилюється, і гранично x(t) → x(t+τ), а двовимірна щільність імовірності p₂(x₁,x₂,τ) → p₁(x). У результаті

.

(1.20)

Значення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу за умови τ → 0 дорівнює середньому значенню його квадрата, тобто повній середній потужності випадкового процесу.

Перші дві властивості дозволяють записати співвідношення

,

(1.21)

доведення якого надаємо читачеві. Дисперсія випадкового процесу дорівнює потужності його змінної складової .

Оскільки щільність імовірності стаціонарного процесу не залежить від розташування початку відліку на осі часу, кореляційна функція є парною функцією часу

.

(1.22)

Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу максимальна в точці τ = 0. Ця властивість стає очевидною, якщо розглянути математичне очікування квадрата суми або різниці значень випадкового процесу x(t) та x(t+τ)

(1.23)

Оскільки , .

Т ипові графіки кореляційних функцій представлено на рис. 1.6.

Часто використовують нормовану кореляційну функцію

.

(1.24)

Кореляційна функція характеризує статистичний зв’язок між значеннями випадкового процесу, розділеними інтервалом τ. Чим більший проміжок τ, в межах якого існує цей зв’язок, тим повільніше змінюється в часі випадковий процес.

Для оцінки статистичного зв’язку вводять поняття інтервалу кореляції τ₀. Суть поняття в тому, що значення випадкового процесу x(t) та x(t + τ) за умови τ > τ₀ можна вважати статистично незалежними. Оцінку інтервалу кореляції проводять за графіком нормованої кореляційної функції, побудованою для центрованого випадкового процесу, з умови

,

(1.25)

де значення δ приймають рівним 0,05. Вибір δ = 0,05 значною мірою умовний.

Іноді для визначення інтервалу кореляції τ₀ використовують співвідношення

.

(1.26)

В основу виразу (1.26) покладено умову рівності площі під кривою нормованої кореляційної функції та прямокутника одиничної висоти (рис. 1.7).

В ажливою властивістю випадкових процесів, що значно полегшує їх експериментальне дослідження, є властивість їх ергодичності.

Згідно ергодичної теореми для таких процесів, усереднення за множиною з імовірністю, скільки завгодно близькою до одиниці, дорівнює усередненню за часом[1-12].

Випадкові процеси, які мають таку властивість, називають ергодичними. Для ергодичних процесів вірні співвідношення:

;	(1.27)
;	(1.28)
;	(1.29)
.	(1.30)

Властивість ергодичності дозволяє не розглядати під час досліджень множину можливих реалізацій випадкового процесу, а обмежитись однією реалізацією достатньо великої тривалості.