1.2.2. Енергетичний спектр стаціонарного випадкового процесу

У теоретичному та експериментальному дослідженнях електронних пристроїв та процесів, що в них відбуваються, широко використовують спектральне представлення сигналів, у основі якого лежить математичний апарат перетворення Фур’є.

Але застосування цього апарату до випадкових процесів неможливе, через те що реалізація випадкового процесу не задовольняє умові абсолютної інтегрованості

,

(1.31)

хоча різним конкретним реалізаціям випадкового процесу відповідають різні спектральні характеристики, які носять випадковий характер. Усереднення комплексної спектральної щільності за всіма реалізаціями призводить до нульового спектра процесу (мається на увазі центрований випадковий процес з нульовим середнім) унаслідок випадковості та незалежності фаз спектральних складових у різних реалізаціях. Разом із тим очевидним є той факт, що різні спектральні складові вносять свій визначений внесок в енергію процесу, оскільки енергія окремих складових пропорційна їх середньому квадрату, який не залежить від співвідношення фаз компонентів, що підсумовують. Це дає можливість розглядати спектральні характеристики середнього квадрата випадкового процесу, вводячи поняття спектральної щільності середньої потужності S(ω), яку визначають таким чином

(1.32)

і вона є середньою потужністю випадкового процесу в смузі частот 1 Гц на заданій частоті.

Візьмемо реалізацію випадкового процесу x_i(t) та введемо функцію x_i^'(t), яка співпадає на деякому інтервалі з реалізацією, яку розглядаємо (рис. 1.8).

(1.33)

До функції x_i^'(t) можна застосувати перетворення Фур’є

.

(1.34)

Середня потужність реалізації випадкового процесу може бути виражена за допомогою частотного спектра

.

(1.35)

Підінтегральна функція являє собою спектральну щільність потужності і-ої реалізації випадкового процесу і може бути позначена S_i(ω). Проводячи усереднення за ансамблем можливих функцій S_i(ω), знаходимо спектральну щільність потужності випадкового процесу на інтервалі часу, що розглядаємо

.

(1.36)

Підставляючи в (1.36) значення вхідних функцій (1.34) та змінюючи послідовність виконання операцій інтегрування за часом і множиною реалізацій, отримаємо

(1.37)

Враховуючи, що M{x_i(t₁)x_i(t₂)} = B_i(t₁,t₂) = B_i(τ), запишемо

.

(1.38)

Вважаючи, що T → ∞, отримаємо остаточний вираз для спектральної щільності потужності випадкового процесу

.

(1.39)

Таким чином, спектральна щільність потужності стаціонарного процесу є прямим перетворенням Фур’є кореляційної функції. Використовуючи формулу Ейлера

exp(–jωt) = cos ωt – j sin ωt

(1.40)

і враховуючи властивості функцій sin та cos, що входять до неї, отримаємо інший вираз для S(ω)

.

(1.41)

Вірне також і обернене співвідношення

.

(1.42)

На основі отриманих виразів можна зробити висновок, що витікає з властивостей перетворення Фур’є – чим ширший спектр випадкового процесу, тим менший інтервал кореляції та навпаки, вузькосмуговий сигнал характеризують великим інтервалом кореляції.

Користуючись отриманими формулами, можна записати низку корисних співвідношень, а також увести поняття ефективної ширини спектра випадкового процесу.

Якщо прийняти в (1.42) τ = 0, отримаємо

,

(1.43)

де підінтегральний вираз є повною потужністю випадкового процесу, яку визначають як площу фігури під графіком спектральної щільності.

Ефективну ширину спектра випадкового процесу визначають зі співвідношення

,

(1.44)

д е S_max(ω) – максимальне значення функції S(ω) (рис. 1.9).

У основі виразу (1.44) лежить умова рівності площі прямокутника з висотою S_max(ω) та площі під кривою спектральної потужності. З урахуванням співвідношення (1.43), знайдемо

.

(1.45)

Зазвичай S_max(ω) = S(0).

Обчислюючи інтервал кореляції τ₀ згідно (1.26), отримаємо з урахуванням (1.41), за умови ω = 0

.

(1.46)

Вирази (1.43)–(1.45) широко використовують для визначення інтервалів дискретизації неперервних повідомлень.