Контрольные вопросы и задания

1. Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

2. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

3. Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

4. Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

5. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

6. Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

7. Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

8. Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

 

Системы счисления Общие понятия

Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел - язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. Общий вид числа:

A = a_na_n-1...a₂a₁a₀

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки.

Диапазон представления D чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенной между минимальным и максимальным числами, представленными заданными разрядами.

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

	возможность представления числа в заданном диапазоне чисел
	однозначность представления
	краткость и простота записи чисел
	легкость овладения системой, а также простота и удобство оперирования ею.

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Двоичная	0,1
Десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания.Позиция цифр в числе значения не имеет.

Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

Пример:

I = 1 II = 2 III = 3 XXXI = 31

Позиционными называются системы счи сления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 1*10² + 1*10¹+1*10⁰ = 100 + 10 + 1

Общий вид для положительных целых чисел:

Здесь X - число, x_i - i-тый разряд числа, p - основание системы счисления

В десятичной системе счисления каждая единица старшего разряда равна десяти единицам младшего разряда.

Пример:

273,2₁₀ = 2*10² + 7*10¹ + 3*10⁰ + 2*10^-1

Развернутая запись числа:

X_p = ¦ (x₁p^m-1 + x₂p^m-2 + ... + x_m-1p¹ + x_m + p⁰ + x_m+1p¹ + ... + x_np^m-n)

x_i принимает значения 0, 1, 2, ... , p-1

Двоичная система (p = 2) использует 2 цифры: 0 и 1.

Если основание системы счисления больше 10 и общепринятых цифр не хватает, используют другие символы.

Пример:

185,2₁₀ В9,4₁₆ = 11*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 271,2₈ = 2*8² + 7*8¹ + 1*8⁰ 2321,1₄ = 2*4³ + 3*4² + 2*4¹ + 1*4⁰ + 1*4^-1 10111001,01₂ = 1*2⁷ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2⁰ + 1*2^-2

Существует двоично-десятичная система. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определенной комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой.

Пример:

125₁₀ = 0001 0010 0101_2-10 (3 тетрады)

0000 = 0	0100 = 4	1000 = 8
0001 = 1	0101 = 5	1001 = 9
0010 = 2	0110 = 6
0011 = 3	0111 = 7

В общем, система распределения весов разрядов - 8421.