3.2 Проверка правильности выбора регрессионной модели

Для оценки правильности выбора аналитической зависимости y=f(x) наряду с вариациями расчетных значений по отношениям к исходным уровням динамического ряд, индексом корреляции и коэффициентом детерминации используется также и специальный показатель – критерий Р. Фишера (F). С помощью F-критерия проверяется нулевая гипотеза о разности дисперсий.

Табличное значение критерия Р. Фишера устанавливается для К₁ и К₂ степеней свободы и выбираемой доверительной вероятности (Р). Доверительная вероятность определяет степень достоверности суждения о возможных значениях статистических характеристик. Чаще всего используется доверительные вероятности Р = 0,95 или Р = 0,99, в данном случае используем доверительную вероятность Р = 0,95.

Степени свободы рассчитываются по формулам (11, 12):

K₁ = m = 1 (11)

K₂ = n-m-1 = 5 (12)

где, K₁ и K₂ – степени свободы.

Если F окажется больше F_т, то уравнение тренда можно использовать для описания закономерности y=f(x). В таблице 3 представлены расчеты параметров для вычисления Fр критерия Фишера.

Т а б л и ц а 3 – Расчет параметров для вычисления Fр критерия Фишера

№ эксперимента	X	Y	Yрасч	Yрасч-Yср	(Yрасч-Yср)2	Y- Yрасч	(Y- Yрасч)2
1	1	11	11,21	-2,36	5,56	-0,21	0,05
2	2	12	12	-1,57	2,47	0	0
3	3	13	12,79	-0,79	0,62	0,21	0,05
4	4	14	13,57	0	0	0,43	0,18
5	5	14	14,36	0,79	0,62	-0,36	0,13
6	6	15	15,14	1,57	2,47	-0,14	0,02
7	7	16	15,93	2,36	5,56	0,07	0,01
Итого	28	95	95	3,55	17,29	-1,78	0,43

F-критерий определяется по формуле (13):

, (13)

где – объясненная дисперсия;

– остаточная дисперсия.

F_т = 6,61

, значит нулевая гипотеза отвергается и уравнение регрессии признается значимым.

Статистическая значимость параметров уравнения тренда выполняется на основе расчета доверительной зоны выборочной линии регрессии, в рамках которой может располагаться линия тренда.

В принципе линии практически совпадают.

3.3 Расчет доверительной зоны для прогнозного значения

Для уравнения линейной зависимости построение доверительной зоны выполняется в следующем порядке:

- определяется значимость параметров «а» и «b» по формулам (14, 15):

(14)

(15)

где - случайная ошибка параметра «a»;

- случайная ошибка параметра «b»;

- остаточное среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое по формуле (11):

(16)

0,29

= 0,06

= 0,25;

- оцениваются расхождения между уравнениями выборочной и генеральной совокупности по t – критерию Стьюдента. Значение этого критерия рассчитывается по формулам (12, 13):

(17)

(18)

= 14,2

= 42,15

К = 5

t_т = 2,57

Полученные и сравниваются с табличными t_т, найденными для K = n-2 степеней свободы и принятой вероятности 0,95 или 0,99. Используем вероятность 0,95 для дальнейших расчетов.

Если tф > tт, то параметры «а» и «b» считаются статистически значимыми и могут быть использованы для расчета переменной ;

- находятся доверительные границы параметров «а» и «b» по формулам (14, 15):

(19)

a^min= 0,66; a^max=0,93

(20)

b^min=9,79; b^max=11,06

Зная и , можно в пределах точности выбранной вероятности утверждать, что в генеральном уравнении тренда, то есть уравнении, построенном по всей генеральной совокупности признаков временного ряда, параметры «а» и «b» принимают одно из значений:

и .

0,64 ≤ a ≤ 0,93

9,79 ≤ b ≤ 11,06

Таким образом, параметров a_т и b_т принимает одно из следующих значений:0,64 ≤ a ≤ 0,93_; 9,79 ≤ b ≤ 11,06.

Для графического отображения доверительной зоны для каждого значения t по формуле определяют ординаты точек по верхней и нижней граничным кривым ( ) (21, 22).

(21)

где

(22)

Расчет параметров для уровнения регрессии (таблица 4).

Т а б л и ц а 4 – Расчет параметров для вычисления доверительных интервалов уравнения регрессии

		Yв	Yн	Yрасч
∆х 1	0,51	11,73	10,70	11,21
∆х 2	0,40	12,40	11,59	12
∆х 3	0,32	13,10	12,47	12,79
∆х 4	0,28	13,86	13,29	13,57
∆х 5	0,32	14,68	14,04	14,36
∆х 6	0,40	15,55	14,74	15,14
∆х 7	0,51	16,44	15,42	15,93

С учетом расчетов доверительной зоны уравнения регрессии получим следующее графическое изображения (рисунок 3).

Рисунок 3 – Графическое изображение доверительной зоны уравнения регрессии

Чтобы рассчитать прогноз уровня ввода в действие жилых домов на конец периода упреждения продолжительностью пять лет, построим таблицу 5.

Т а б л и ц а 5 – Прогноз ввода в действие жилых домов

Переменная	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Сумма
х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	78
х2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	650

Таким образом, среднее значение переменной «х» равно 6,5, а среднее значение в квадрате равно 42,25.

Так, подставив х = 12 в уравнение регрессии у = 0,79х+10,43, получаем, что через 5 лет в действие будет введено 19,871 миллионов квадратных метров.

Для определения интервала колеблемости переменной на момент прогноза необходимо к уже рассмотренным источникам вариации (колеблемость параметров «а» и «b») добавить отклонения фактических значений переменной по отношению к точкам на линии регрессии .

Доверительные интервалы для индивидуальных значений признака определяются по формуле (18, 19):

(23)

(23)

Так, при х = 12:

; .

Зная , можно с заданным уровнем вероятности 0,95 утверждать, что фактическое значение прогнозируемой величины не выйдет за пределы доверительных интервалов.

Таким образом, в диапазоне 19,0≤Y≤20,71 может находиться прогнозное значение. Выполним прогноз ввода в действие жилых домов на конец периода упреждения продолжительностью пять лет (x=12).

По сравнению с уравнением ввода в действие жилых домов в конце предпрогнозного периода в перспективе он повысится на 45,48 %.

В заключении следует отметить, что в данном разделе работы была построена регрессионная модель площади введённых в действие жилых домов, также проверена правильность выбора регрессионной модели, рассчитаны доверительные зоны для прогнозного значения, а также произведен прогноз уровня ввода в действие жилых домов на конец периода упреждения продолжительностью пять лет.