1.3 Облигациялармен жасалған мәмілелердің сомасын есептеу

Сауда-саттық жүйесінде облигациялардың саудасы "таза" бағасымен жүзеге асырылып, бір облигацияның номиналды құнына пайызбен көрсетіледі (осы Əдістеменің 5 тарауымен белгіленген ерекшеліктерден басқа). Облигациялардың саудасы барысында олардың саны ретінде (мəміле жасасуға берілген өтінімдерде жəне жасалған мəмілелерде) мəміледегі облигациялар санының натуралды көрсеткішінің (бағалы қағаздармен) жəне əр бір осындай облигацияның номиналды құнына көбейтіндісі қолданылады. Облигациялармен жасалған мəміленің сомасы келесі алгоритммен анықталады: 1) "таза" бағамен жасалған мəміленің көлемі, əр облигацияның "таза" бағасының жəне, осы Əдістеменің 13 тармағына сəйкес анықталған, мəміледегі облигациялар санына көбейтіндісі арқылы анықталады (осы Əдістеменің 15 тармағымен белгіленген ерекшеліктерді ескеріп); 2) мəміле заты болып табылатын облигациялар бойынша жинақталған сыйақы көлемі келесі формуламен есептелінедіосы тармақтың 1) тармақшасына сəйкес анықталған, "таза" бағамен жасалған мəміленің көлемі, осы тармақтың 2) тармақшасына сəйкес есептелінген, облигациялар бойынша жинақталған сыйақы мөлшеріне қосылады; 4) егер облигациялар шетел валютасымен номинацияланған болса, осы тармақтың 3) тармақшасына сəйкес табылған сомасы, осы Əдістеменің 4 тарауына сəйкес, теңгемен есептеледі; 5) осы тармақтың 3) тармақшасына сəйкес (осы тармақтың 4) тармақшасына сəйкес – шетел валютасымен номинацияланған облигацияларға қатысты) алынған нəтиже, математикалық дөңгелектеу ережелеріне сəйкес (беске дейінгі сандар нөлге дейін дөңгелектеніп, бес жəне бестен жоғары сандар онға дейін дөңгелектенеді) үтірден кейінгі екінші таңбасына дейін дөңгелектенеді. 15. Номиналды құны күнделікті белгілі мəні бар (мысалы, АҚШ долларының орта өлшенген бағамы бойынша) қандай да бір көрсеткішке индекстелетін облигациялармен жасалған мəмілелердің сомасын анықтағанда, мəміледегі облигациялардың саны натуралды мəні ретінде (бағалы қағаздармен) облигациялардың саны мен осындай бір облигацияның индекстелінген номиналды құнына көбейтіндісі қолданылады.

Банк 10 жылдық өтеу мерзiмi бар облигациялар шығарды. Облигация номиналына проценттердiң есептелiнуi - жылдық 6%. Проценттiк төлемдерi және номиналды құны облигацины өтеген кезiнде төленедi. Анықтау керек облигация табыстылығын (орналастыру ставкасын), егер оның бағамы бастапқы сату кезiнде мынадай болса:

а) 108,0; б) 92,0.

а) .

б) .

.

Орналастыру ставка мәлшерiн интерполяция әдiсiн қолдану арқылы анықтауға болады. Облигация табыстылығын анықтау үшiн кейде жәй проценттiк ставканы қолдануғада болады. Бұл жағдайда орналастыру ставкасы мынаған тең:

,

мұндағы g – процент жүзiнде өрнектелген облигацияның ағымдағы табысы.

Ағымдағы табыстылық кәрсеткiшi мен орналастыру ставкасы араларында жәй және күрделi проценттер негiзi бойынша әрнектелген белгiлi бiр байланыс бар.

Облигацияны сыйлығымен қоса сатып алу кезiнде: .

Егер облигация дисконтпен қоса сатып алынса, онда .

Облигацияны номиналы бойынша сатып алған жағдайда оның барлық табыстылық кәрсеткiштерiнiң мәндерi әзара бiрдей болады және g ставкасына тең болады.

1 есептiң берiлу шартына қарай облигацияның табыстылығын жәй проценттер негiзiнде анықтау керек.

Табыстылық облигация таңдаудағы ең маңызды критерийi болғанымен, сонымен қатар ол облигацияның жалғыз критериi болып санала бермейдi. Инвестор үшiн сол немесе басқа облигация түрiнiң тартымдылық кәрсеткiшiнiң басқа түрi ретiнде облигацияның әтелуiне дейiнгi мерзiм ұзақтығы болып та саналады. Мерзiм ұзақтығы көбейген сайын облигация иесi үшiн оның қаржы қауiпi де әседi. Әрине, купондық табысы бар облигацияларды сатып алу қауiпiнiң мәлшерi проценттерi мерзiм соңында төленетiн облигацияларға қатысты қауiптен анағұрлым төмен. Осыған орай облигацияның сатып алу сәтiнен бастап оның өтеу мезгiлiне дейiнгi уақыт кезеңiнде табыстардың үлестiру ерекшелiктерiн сол немесе басқа да дәреже түрiнде сипаттайтын бiр қатар кәрсеткiштер бар.

Сондай кәрсеткiштердiң бiрi ретiнде облигацияның орташа мерзiмi болып саналады. Бұл кәрсеткiш облигациялар бойынша барлық тәлемдердiң орташа мерзiмiн анықтайтын безбенделген орта шамасы болып табылады. Жыл сайынғы купондық төлемдердi атқарғанда төлемдердiң орташа мерзiмi былай анықталады:

,

мұндағы - 1,2,..., n – купон бойынша жыл өлшемiмен өлшенетiн төлемдер мерзiмi;

- төлем сомасы;

N – облигацияның номиналды құны;

g – купондық процент;

- облигациялардың орташа мерзiмi.

Купондық төлемдер жыл сайын атқарылғандықтан - арифметикалық прогрессиясының бiрiншi мүшелер сомасы болып табылады. Осы шаманының мәнiн (17) формулаға қойсақ, онда:

.

Купондық төлемдер атқарылғанда: .

Купондық төлемдерi атқарылмайтын облигациялар үшiн: .

(17) және (18) формулалар облигациялардың орташа мерзiмiн есептеу үшiн қолданылады, егер облигациялар номиналы бойынша өтелсе. Ал, өтеуiн төлеп алу бағасы (С) номиналына сәйкес болмаса, яғни , онда облигацияның орташа мерзiмi мына формула арқылы есептелiнедi:

,

мұндағы .

Жартыжылдық купондық төлемдердi өтеу жағдайында облигацияның орташа мерзiмi мынаған тең:

,

мұндағы

Бұл жағдайда , ал облигацияның орташа мерзiмi:

. (20)

Номиналы 1000 теңгелiк облигация 4 жылдан кейiн өтелуге тиiс мерзiмi бойынша шығарылды. Жыл сайын купон бойынша номиналдың 12%-тiк мәлшерi төленiп отырады. Анықтау керек облигацияның орташа мерзiмiн

Төлемдердiң мерзiмдерi, жыл,	Төлемдер, теңге	( , теңге)	Төлемдер, %,	( , %)
1	120	120	12,0	12,0
2	120	240	12,0	24,0
3	120	360	12,0	36,0
4	120+1000	4480	12,0+100,0	448,0
Барлығы:	1480	5200	148,0	520,0

Мына (17) формула бойынша:

жыл немесе жыл.

Сонымен қатар (18) формула бойынша облигацияның орташа мерзiмiн анықтаймыз:

жыл

Егер есептiң шартын өзгертсек: мысалға купондар бойынша проценттерi жылына екi рет төленсе.

Төлемдердi» мерзiмдерi, жыл,	Төлемдер, теңге	( теңге)	Төлемдер, %,	( , %)
0,5	60,0	30,0	6,0	3,0
1,0	60,0	60,0	6,0	6,0
1,5	60,0	90,0	6,0	9,0
2,0	60,0	120,0	6,0	12,0
2,5	60,0	150,0	6,0	15,0
3,0	60,0	180,0	6,0	18,0
3,5	60,0	210,0	6,0	21,0
4,0	60,0 + 1000	4240,0	6,0 + 100,0	424,0
Барлы№ы:	1480,0	5080,0	148,0	508,0

жыл, немесе жыл.

Мына (20) формула бойынша:

жыл

әрине, проценттiк тәлемдердiң өтелу жиiлiгiн кәбейту облигацияның орташа мерзiмiн төмендетедi.

Облигацияның орташа мерзiм көрсеткiшiнен басқа оған экономикалық мәнiне жақын тәлемдердiң орташа ұзағтығын сипаттайтын кәрсеткiш бар. Кейде оны өзгергiштiк көрсеткiшi деп те атайды; оны D символымен белгiлейдi. Облигацияның орташа мерзiмi ( ) кәрсеткiшiне қарағанда D кәрсеткiшiн есептегенде безбен ретiнде төлемдер сомасы емес, оның есептелуiне нақты нарықтық проценттiк ставка қолданылған баламалы өлшемдер қабылданады

Егер облигациялар бойынша проценттер жыл сайын төленiп отырса, онда төлемдердiң орташa , (21)

,

мұндағы t = 1, 2, ..., n.

мәлшердi, белгiлi бiр өрнектеуден кейiн мына түрде жазуға болады:

. (

Осы формуланы қолдану арқылы төлемдердiң орташа ұзақтығының есептелуi жеңiлденедi. g>0 болған жағдайда облигацияның орташа мерзiмi мен төлемдердiң орташа ұзақтығы араларындағы қатынас мына теңсiздiкпен сипатталады . Облигацияның орташа мерзiмiн көбейткенде осы екi өлшемдер арасындағы айырмасы үлкейе түседi.