15 ) Общее уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C=0 (  > 0).

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде:   + С = 0, где   - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.

     Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

     Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 

где   - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь   - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если   и произвольно, если C = 0.

19 )Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

     (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

  

20 ) Уравнение прямой в отрезках на осях.

     (3)

где a - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

21 ) Расстояние от точки до прямой.

(на плоскости)-

если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	|A·Mx + B·My + C|
	√A2 + B2

(В ПРОСТРАНСТВЕ)-

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

d =	|M0M1×s|
	|s|

22 ) Общее уравнение плоскости.

Всякое уравнение вида  , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида   при некотором наборе чисел A, B, C и D.