25 ) Уравнение плоскости в отрезках на осях.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называетсяуравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек   удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

Рассмотрим пример.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz плоскость проходит через точки на координатных осях   и  . Напишите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение.

Заданная плоскость отсекает отрезок длиной 2 единицы в отрицательном направлении оси абсцисс, длиной   - в положительном направлении оси ординат, длиной   в отрицательном направлении оси аппликат, считая от начала координат. Таким образом, уравнение этой плоскости в отрезках имеет вид  .

Ответ:

26 ) Расстояние от точки до плоскости.

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y, M_z) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

d =	|A·Mx + B·My + C·Mz + D|
	√A2 + B2 + C2

29 ) Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

1.	у= а1 х+ b1 у= а2 х+ b2

служит соотношение

2.	а1 · а2=−1

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

30 ) Общее уравнение прямой. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

усть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координатOxyz и пусть даны две пересекающиеся и несовпадающие плоскости   и  . Так как любую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz определяет общее уравнение плоскости вида   при некотором наборе значений А, В,С и D, то будем считать, что плоскостям   и   соответствуют уравнения   и  . Тогда   - нормальный вектор плоскости  , а   - нормальный вектор плоскости  . Эти векторы не коллинеарны, так как плоскости   и   не совпадают и не параллельны. На языке математики это условие запишется как  Обозначим буквой a прямую, по которой пересекаются плоскости   и  , то есть,  .

Прямая а представляет собой множество всех общих точек плоскостей   и  . Следовательно, координаты любой точки прямой a удовлетворяют одновременно и уравнению   и уравнению  , то есть, являются частным решением системы уравнений  . Тогдаобщее решение системы линейных уравнений вида  определяет координаты каждой точки прямой, по которой пересекаются плоскости  и  , а значит, определяет прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Приведем пример прямой в пространстве, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Очевидно, что координатная прямая Ox является прямой, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Плоскость Oxy задается уравнением z = 0, а плоскость Oxz уравнением y = 0 (при необходимости смотрите раздел неполное общее уравнение плоскости). Таким образом, координатная прямая Ox в прямоугольной системе координат Oxyz определяется системой из двух уравнений следующего вида  .