3.4 Метод векторных контуров
Это аналитический метод кинематического анализа и синтеза. В данном разделе рассматривается его применение только к анализу. Как и прежде, объектом анализа является кривошипно-ползунный механизм, изображённый на рис. 3.11, а.
При аналитическом анализе задают размеры звеньев – 1 и 2 в данном случае. По этим данным выводят формулы координат и их производных. Производные берут по координате входного звена. Через производные определяют скорости и ускорения.
Вывод
координат. С
каждым звеном механизма связывают
вектор, выбранный так, чтобы образовался
замкнутый векторный контур
,
кинематически эквивалентный механизму
(рис. 3.12).
Рис. 3.12. Векторный контур кривошипно-ползунного механизма
Направление
вектора на линии его действия произвольное,
т. е. вектор
,
например, может быть направлен как от
к
,
так и наоборот.
Показывают положительный угол каждого вектора относительно оси (и только ) системы координат, связанной со стойкой.
Составляют
уравнение
замкнутости
векторного контура. Оно представляет
собой уравнение геометрической суммы
векторов. Эта сумма равна нулю, если при
обходе контура векторы, попутные обходу,
подставляются в сумму со знаком «плюс»,
а встречные – со знаком «минус». При
обходе контура
по часовой стрелке и перечислении
векторов, начиная с
,
уравнение замкнутости имеет вид:
.
(3.10)
Составляют уравнения проекций
контура на оси
,
.
Для этого при проецировании на ось
модуль каждого вектора, входящего в
уравнение (3.10), умножают на косинус его
угла с осью
,
а при проецировании на ось
– на синус того же угла. Знаки в уравнениях
проекций оставляют такими же, как в
уравнении замкнутости. В результате
этих действий получают систему:
(3.11)
Из второго уравнения выводят
,
из первого –
.
Учитывая, что
,
получают:
;
.
Вывод
производных. Производные – по
берут от
и
.
При этом для упрощения вывода дифференцируют
не конечные выражения, а уравнения
проекций (3.11). После первого дифференцирования
имеют:
(3.12)
Из второго уравнения выводят
из первого –
:
;
Для вывода вторых производных дифференцируют уравнения (3.12):
(3.13)
Из второго уравнения выводят
,
из первого –
.
Определение скоростей и ускорений. Эти величины находят через аналоги по формулам, подобным (3.7), (3.8). Так, скорость и ускорение точки определяют по формулам:
;
.
Для звена 2 формулы имеют вид:
;
.
3.5 Простейшие задачи синтеза
Все задачи синтеза будут рассмотрены на примере шарнирного четырёхзвенника (рис. 3.13, а). От них легко перейти к синтезу других механизмов.
3.5.1 Синтез по крайним положениям коромысла
При таких пропорциях, как на
рисунке, звено
– кривошип, звено
– шатун,
– коромысло. Кривошип совершает полный
оборот относительно стойки, коромысло
– не полный, этим они и отличаются.
Рис. 3.13. Синтез четырёхзвенника по крайним положениям коромысла
По условию синтеза даны длина
стойки и коромысла, а также углы
,
коромысла в его крайних положениях
(рис. 3.13, б). Требуется определить
длину кривошипа и шатуна.
В крайних положениях коромысла
кривошип и шатун либо складываются в
одну прямую
,
либо вытягиваются в одну прямую
(рис. 3.13, в). На этом основании
составляют следующую систему уравнений:
Вычитая
второе уравнение из первого, получают:
.
Отсюда
.
Чтобы решить задачу графическим методом
до конца, из точки
радиусом
отсекают отрезок
,
равный разности
.
Подставляя
в формулу для
,
находят длину кривошипа:
.
Затем из точки
радиусом
проводят окружность и находят длину
шатуна.